Оператор кутового моменту
Опера́тор моме́нту кі́лькості ру́ху або кутового моменту — це квантово-механічний аналог класичного поняття моменту кількості руху.
Побудова і означення
Для побудови квантово-механічного оператора кутового моменту частки виходять із класичного виразу
- ,
де — радіус вектор частки, а — її імпульс. При переході до квантової механіки проводять заміну імпульсу на квантовомеханічий оператор імпульсу . Тоді компоненти оператора кількості руху мають наступну форму
- ,
- ,
- .
Визначені таким чином оператори є ермітовими.
Комутаційні співвідношення
Компоненти оператора кутового моменту задовільняють наступним комутаційним співвідношенням
- ,
- ,
- .
Оскільки вони не комутують між собою, то згідно із принципом невизначеності не можуть бути виміряні одночасно. Якщо відоме точне значення одного з них, то невизначеність двох інших буде абсолютною.
Власні функції та власні значення
З огляду на некомутативність компонент, вони не мають спільних власних функцій. В сферичній системі координат найпростіший вигляд має компонента , тож здебільшого шукають її власні функції.
Власними функціями компоненти є комплексні експоненти виду , де m — ціле число, яке пробігає значення від до .
- .
Власні значення оператора дорівнюють . Число m називається магнітним квантовим числом. Така назва зумовлена тим, що вперше магнітне квантове число ввели для інтерпретації розщеплення спектральних ліній у магнітному полі (Зееманівське розщеплення).
Оператор квадрата кутового моменту
Важливе значення у квантовій механіці посідає оператор квадрата кутового моменту
- .
В сферичні системі координат він має вигляд
- .
Цей оператор комутує з будь-якою з компонент оператора кутового моменту.
Власні функції та власні значення оператора квадрата кутового моменту
Завдяки комутативності оператора квадрата кутового моменту із , ці два оператори мають спільну систему власних функцій. Квадрат кутового моменту може бути визначеними одночасно із z-вою компонентою.
Власними функціями оператора квадрата кутового моменту є сферичні гармоніки .
Власні значення оператора квадрата кутового моменту дорівнюють , де l — ціле число, яке пробігає значення від нуля до нескінченості. Це квантове число називається орбітальним квантовим числом.
- .
Із теорії сферичних гармонік відомо, що магнітне квантове число m за абсолютною величиною не може бути більшим за l. Тому кожному орбітальному квантовому числу l відповідає 2l+1 різних магнітних квантових числа: m = -l, -l+1…l-1, l.
Див. також
Джерела
- Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
- Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.
- Биденхарн Л., Лаук Дж. Угловой момент в квантовой физике. Теория и приложения. — М. : Мир, 1984. — Т. 1. — 302 с.
- Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М. : Наука, 1976. — 664 с.
- Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. — М. : Мир, 1990. — 720 с.
- Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. — Л. : Наука, 1975. — 441 с.
- Зар Р. Теория углового момента. О пространственных эффектах в физике и химии. — М. : Мир, 1993. — 352 с.