Ранг (лінійна алгебра)
Ранг матриці — порядок найбільших відмінних від нуля мінорів цієї матриці (такі мінори називаються базисними).
Ранг системи векторів — найбільше число лінійно-незалежних векторів з цієї системи.
Зазвичай ранг матриці позначається () чи .
- Ранг матриці не змінюється при елементарних перетвореннях матриці (перестановці рядків або стовпців, множенні рядка або стовпця на відмінне від нуля число і при додаванні рядків або стовпців).
- Теорема про базисний мінор: Рядки ненульової матриці, на яких будується її базисний мінор є лінійно незалежними. Всі інші рядки матриці лінійно виражаються через них.
- Теорема про ранг матриці: Ранг матриці рівний найбільшому числу лінійно-незалежних рядків (або стовпців) матриці. Причому ранг по стовпцям збігається з рангом по рядкам.
- Теорема Кронекера-Капеллі: Система лінійних рівнянь має розв'язок тоді і тільки тоді, коли ранг матриці, складеної з коефіцієнтів при невідомих, не змінюється при додаванні до неї стовпця вільних членів (розширена матриця). Цей розв'язок єдиний, якщо цей ранг матриці дорівнює кількості невідомих.
Ранг матриці розмірності називають повним, якщо .
Система векторів має повний ранг, якщо вектори лінійно незалежні.
Обчислення рангу матриці
Основними методами обчислення рангу матриці є методи оточення мінорів (теоретичний) і метод елементарних перетворень (практичний).
Метод оточення мінорів полягає в тому, що в ненульовій матриці шукається довільний базисний мінор.
Метод елементарних перетворень полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень знаходиться деяка максимальна лінійно незалежна система рядків матриці. Можливо із зведенням матриці до трикутного вигляду (метод Гауса).
Властивості
- Тільки нульова матриця має нульовий ранг.
Див. також
Джерела
- Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)
Посилання
- Ранг матриці та способи його обчислення // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 19-23. — 594 с.
В іншому мовному розділі є повніша стаття Rank (linear algebra)(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою перекладу з англійської.
|
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |