Симетрична група

Граф Келі симетричної групи S₄

Симетрична група множини X — це група всіх перестановок X (тобто бієкцій X →X) щодо операції композиції.

Симетрична група множини X позначається S(X). Якщо X = {1, 2,…, n}, то S(X) позначається S_n.

Нейтральним елементом в симетричній групі є тотожна перестановка $id$, тобто тотожне відображення:

$id(x)=x$ для всіх x з X.

Порядком групи S_n (тобто кількістю її елементів) є n! (n-факторіал).

$Ord(S_{n})=n!$

Теорема Келі

Будь-яка група $(G,\cdot )$ ізоморфна деякій підгрупі групи перестановок елементів $G$.

Групи низького порядку

S₀ та S₁

Групи з одного елементу.

S₂

Група з 2 елементів, циклічна, а отже і абелева.

S₃

Перша неабелева симетрична група. Ізоморфна діедральній групі порядку 6.

S₄

Ізоморфна групі поворотів куба.

S₅

Є групою Галуа для рівняння п'ятого степеня.

Властивості

• При $n\geq 3$ симетрична група S_n некомутативна.
• При $n\geq 5$ симетрична група S_n є нерозв'язною.

Джерела

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)