Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна:
слід.
Слід матриці — операція, що відображає простір квадратних матриць у поле, над яким визначена матриця (див. функціонал).
Слід матриці — це сума усіх її діагональних елементів, тобто якщо елементи матриці , її слід дорівнює:
В математичних текстах зустрічається два позначення операції взяття сліду: (трейс, від англ. Trace — слід), і (шпур, від нім. Spur — слід).
- ,
- ,
- де T означає операцію транспонування.
Для матриці A розміром m на n з комплексними (чи дійсними) елементами, де A* позначає ермітово спряжену матрицю, маємо нерівність
яка перетворюється в рівність тоді і тільки тоді коли . Присвоєння
дає внутрішній добуток на просторі всіх комплексних (чи дійсних) матриць розміру m на n.
Норму яку отримують з вищенаведеного внутрішнього добутку називають нормою Фробеніуса, яка задовільняє властивість субмультиплікативності для норм матриць. Справді, це просто Евклідова норма якщо вважати матрицю вектором довжини mn.
Якщо A і B дійсні додатнонапівозначені матриці однакового розміру, то виконується рівність
Її можна довести використавши нерівність Коші — Буняковського.