Теорема Ріса

Теорема Ріса (також теорема Ріса-Фреше) у функціональному аналізі стверджує, що кожен лінійний обмежений функціонал у гільбертовому просторі може бути представлений через скалярний добуток за допомогою деякого елементу.

Твердження

Нехай маємо:

• Гільбертів простір H
• Лінійний обмежений функціонал $f\in H'$ у просторі $H$

Тоді існує єдиний елемент $y$ простору $H$ такий, що для довільного $x\in H$ виконується $f(x)=\langle y,x\rangle$.

Також виконується рівність

$\|y\|=\|f\|$

Доведення

$\ker(f)$ ядро лінійного функціоналу є векторним підпростором $H$.

Існування $y$

Якщо $f\equiv 0$, достатньо взяти $y=0$.

Якщо ж $f\neq 0$, тоді $\ker(f)\neq H$ . Відповідно можна знайти елемент $b\in \ker(f)^{\bot }\smallsetminus {\big \{}0{\big \}}$,

$\forall x\in H$, позначимо $p_{x}=x-{\tfrac {f(x)}{f(b)}}b$.

Оскільки очевидно $p_{x}\in \ker(f)$ маємо за означенням b, що $\langle b,p_{x}\rangle =0$. З лінійності скалярного добутку отримуємо:

$\left\langle b,x-{f(x) \over f(b)}b\right\rangle =0=\langle b,x\rangle -{f(x) \over f(b)}\|b\|^{2}$

Звідси $f(x)=\langle b,x\rangle {\tfrac {f(b)}{\|b\|^{2}}}$.

Нарешті

$f(x)=\langle y,x\rangle$

де позначено $y={\tfrac {f(b)}{\|b\|^{2}}}b$.

Єдиність $y$

Припустимо $y$ і $z$ елементи $H$ Що задовольняють $f(x)=\langle y,x\rangle =\langle z,x\rangle$.

Для всіх $x\in H$ справджується $\langle y-z,x\rangle =0$ зокрема $\langle y-z,y-z\rangle =\|y-z\|^{2}=0$ звідки й отримується рівність $y=z$.

Рівність норм

Для доведення $\|y\|=\|f\|$ спершу з нерівності Коші-Буняковського маємо: $f(x)=\langle y,x\rangle \leq \|y\|\|x\|$. Звідси згідно з визначенням норми функціоналу маємо: $\|f\|\leq \|y\|.$ З іншого боку $f(y)=\langle y,y\rangle \leq \|y\|\|f\|$ звідки $\|y\|\leq \|f\|$. Поєднуючи дві нерівності одержуємо $\|y\|=\|f\|$

Див. також

• Теорема Лакса-Мільграма

Джерела

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)