Теорема про базисний мінор

Теорема про базисний мінор

1. Рядки ненульової матриці $\ A$ (існує не нульовий елемент) на яких будується її базисний мінор $\ \Delta _{r}$ є лінійно незалежними.
2. Всі інші рядки матриці лінійно виражаються через них.

Доведення

1. Якби базисні рядки були лінійно залежними то з допомогою еквівалентних перетворень можна було б одержати нульовий рядок, що суперечить тому, що базовий мінор не дорівнює нулю.
2. За допомогою довільного не базисного рядка (нехай його номер $\ k$) та довільного стовбця матриці (нехай його номер $\ j$) утворимо оточуючий мінор для базисного. Він буде дорівнювати нулю. Розклавши його $\ j$-му стовпцю (теорема Лапласа), отримаємо:

$\ a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\ldots +a_{rj}A_{rj}+a_{kj}A_{kj}=0$

оскільки алгебраїчне доповнення $\ A_{kj}$ рівне нашому базовому мінору $\ \Delta _{r}$ з точністю до знака, отже $\ A_{kj}\neq 0,$ тому розділимо весь вираз на нього:

$\ a_{kj}=\lambda _{1}a_{1j}+\lambda _{2}a_{2j}+\ldots +\lambda _{r}a_{rj},\qquad \lambda _{j}=-{\frac {A_{ij}}{A_{kj}}},\quad \forall j\in [1,r].$

Отже $\ k$-ий рядок є лінійною комбінацією базових рядків з коефіцієнтами $\ \lambda _{j}$.

Див. також

• Теорія матриць
• Матриця (математика)
• Визначник
• Ранг матриці
• Теорема Лапласа — розклад визначника по рядку (стовпцю)

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)
• Ланкастер П.. Теория матриц. — 2. — Москва : Наука, 1982. — 272 с.(рос.)
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)