Теореми Силова
Алгебрична структура → Теорія груп Теорія груп |
---|
|
|
В теорії груп, теореми Силова стверджують про існування підгруп певного порядку, визначають їх властивості. Теореми доведені норвезьким математиком Силовом в 1872 р.
Визначення
Нехай — скінченна група, а — просте число, що ділить порядок . Підгрупи порядку називаються -підгрупами. Нехай маємо , де не ділиться на . Тоді -підгрупою Силова називається підгрупа , що має порядок .
Твердження теорем
Нехай — скінченна група. Тоді:
- -підгрупа Силова існує.
- Будь-яка -підгрупа міститься в деякій -підгрупі Силова. Всі -підгрупи Силова спряжені (тобто кожну можна представити в виді , де — елемент групи, а — підгрупа Силова із теореми 1).
- Кількість -підгруп Силова рівне одиниці за модулем і ділить порядок .
Доведення
1. Спершу доведемо, що
Справді здійснюючи обчислення за модулем p отримуємо:
Піднісши обі частини до степеня m маємо:
В лівій частині коефіцієнт біля рівний а в правій m, що й доводить твердження .
Як наслідок маємо, що не ділиться на p, якщо на p не ділиться число m.
Нехай |G| = pkm, і Ω позначає множину підмножин G потужності pk. Тоді маємо:
Розглянемо дію G на множині Ω, що полягає у лівому множенні. Тоді
де сума береться по всіх орбітах множини Ω. Зрозуміло, що кількість елементів принаймні однієї з цих орбіт не ділиться на p, оскільки на p не ділиться кількість елементів множини Ω, що випливає з доведеного вище. Нехай S — один з елементів цієї орбіти і P його стабілізатор. Тоді для величини орбіти маємо:
Для того, щоб це число не ділилося на p необхідно і як наслідок pr ≤ |P|. З іншої сторони для будь-якого маємо відображення [g ↦ gx] ' ін'єктивним відображенням P в S (дане відображення є відображенням в S, оскільки P є стабілізатором S). Відповідно |P|≤pr і, поєднуючи дві нерівності одержимо |P|= pr '
2. Нехай H — довільна p-підгрупа G. Розглянем її дію на множині правих класів суміжності G/P лівими зсувами, де P — p-підгрупа Силова. Кількість елементів довільної нетривіальної орбіти повинно ділитися на p. Але |G/P| не ділиться на p, відповідно у дії є нерухома точка gP. Тому , а значить, , тобто H є підгрупою деякої p-підгрупи Силова.
Якщо ж H — сама є p-підгрупою Силова, то вона спряжена з P.
3. Кількість p-підгруп Силова рівна [G: NG(P)] і, відповідно, ділить |G|. З попереднього маємо, що множина p-підгруп Силова рівна X = {gPg-1}. Розглянемо дію P на X спряженнями. Нехай H із X — деяка нерухома точка. Тоді P і H належать нормалізатору підгрупи H і при цьому спряжені в NG(H) як p-підгрупи Силова. Але H нормальна в своєму нормалізаторі, тому H = P и єдиною нерухомою точкою дії є P. Оскільки порядки всіх нетривіальних орбіт кратні p, одержуємо .
Див. також
Джерела
- Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)
- Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
- А. И. Кострикин. Введение в алгебру, III часть. М.: Физматлит, 2001.