Білінійна операція ![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon V\times V\rightarrow V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f4446c9272ec2703bfe4bbd3ba41c037963e7e4)
на лінійному просторі V задовольняє тотожність Якобі, якщо:
![{\displaystyle \forall \,x,y,z\in V\colon [[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fb8920707b85494eb03da6871bec5571cff6735)
Названо на честь Карла Густава Якобі.
Поняття тотожності Якобі зазвичай пов'язане з алгебрами Лі.
Наступні операції задовольняють тотожність Якобі:
Якщо множення ![{\displaystyle [{\dot {,}}\cdot ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ff96fc394f86978367deb9e30b467057f86063b)
є антикоммутативним ![{\displaystyle ([x,y]=-[y,x])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f87e4fa29292e87971a929e1e99115bf61e569)
, то тотожності Якобі можна надати дещо інший вигляд, використовуючи приєднане представлення алгебри Лі :
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\colon y\mapsto [x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a83dfae0bc4af7168c95b97f8a08b393240b15)
Записавши тотожність Якобі у формі
![{\displaystyle [x,[y,z]]=[y,[x,z]]+[[x,y],z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db1d62c71fd1a76785dae82442e4ef59d942e21d)
отримаємо, що воно рівносильне умові виконання правила Лейбніца для оператора 
:
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\,[y,z]=[\mathrm {ad} _{x}\,y,z]+[y,\mathrm {ad} _{x}\,z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/199849564813f5f6c0799e3e713c96f0e8a91fbc)
Таким чином, — диференціювання в алгебрі Лі. Будь—яке таке диференціювання називається внутрішнім.
Тотожності Якобі також можна надати вигляду
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{[x,y]}=[\mathrm {ad} _{x},\mathrm {ad} _{y}]=\mathrm {ad} _{x}\mathrm {ad} _{y}-\mathrm {ad} _{y}\mathrm {ad} _{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9745ac751109b24010afa01d69a8ca5d2e467a09)
Це означає, що оператор 
задає гомоморфізм даної алгебри Лі в алгебру Лі її диференціювань.
Нехай 
— градуйована алгебра, ![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28dd4c22d60192519c1c12cf645b040f368db9e9)
— множення в ній. Кажуть, що множення в 
задовольняє градуйованій тотожності Якобі, якщо для будь—яких елементів 
![{\displaystyle [\omega _{m},[\omega _{k},\omega _{l}]=[[\omega _{m},\omega _{k}],\omega _{l}]+(-1)^{mk}[\omega _{k},[\omega _{m},\omega _{l}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a325f6e7ec5c033017c3b8c8716d1cb922e9151b)
