Трикутна матриця
Трику́тна ма́триця — квадратна матриця, всі елементи якої нижче або вище від головної діагоналі дорівнюють нулю.
- Верхньотрикутна матриця — квадратна матриця, всі елементи якої нижче від головної діагоналі дорівнюють нулю[1].
- Нижньотрикутна матриця — квадратна матриця, всі елементи якої вище від головної діагоналі дорівнюють нулю[1].
- Унітрикутна матриця — трикутна матриця, діагональні елементи якої дорівнюють одиниці.
Матриця виду
називається верхньотрикутною матрицею, а матриця виду
називається нижньотрикутною матрицею. Змінна U (від англ. upper) звичайно використовується для позначення верхньотрикутної матриці, а змінна L (від англ. lower) — нижньотрикутної. Матриця, що є одночасно і верхньотрикутною, і нижньотрикутною, називається діагональною.
Теорема (про приведення матриць до трикутного вигляду). |
Трикутні матриці використовуються насамперед при розв'язку лінійних систем рівнянь, коли матриця системи (в процесі прямого ходу) зводиться до трикутного вигляду. Вирішення систем лінійних рівнянь з трикутною матрицею (зворотний хід) не представляє складнощів. Основні властивості:
- Визначник трикутної матриці дорівнює добутку її діагональних елементів.
- Визначник унітрикутної матриці дорівнює одиниці.
- Власні числа трикутної матриці — це елементи головної діагоналі.[2]
- Множина невироджених верхньотрикутних матриць порядку n по множенню з елементами з поля k утворює групу, яка позначається ut(n, k) або utn (k).
- Множина невироджених нижньотрикутних матриць порядку n по множенню з елементами з поля k утворює групу, яка позначається lt(n, k) або ltn (k).
- Множина верхніх унітрикутних матриць з елементами з поля k утворює підгрупу utn (k) по множенню, яка позначається sut(n, k) або sutn (k). Аналогічна підгрупа нижніх унітрикутних матриць позначається slt(n, k) або sltn (k).
- Множина всіх верхньотрикутних матриць з елементами з кільця до утворює підалгебру алгебри квадратних матриць. Аналогічне твердження справедливе для нижньотрикутних матриць.
- Група utn вирішувана, а її унітрикутна підгрупа sutn нільпотентна.
Матричне рівняння у вигляді або дуже легко розв'язати за допомогою ітеративного процесу відомого як пряме підставляння для нижньотрикутних матриць і, аналогічно, зворотне підставляння для верхньотрикутних мариць.
Матричне рівняння Lx = b можна записати як систему лінійних рівнянь
Зауважимо те, що перше рівняння () містить лише , отже його можна розв'язати для Друге рівняння містить лише і отже його можна розв'язати підставивши вже отримане значення для . Продовжуючи таким чином, -те рівняння містить лише , і його можна розв'язати щодо використовуючи попередньо отримані значення
У результаті маємо таку формулу:
Матричне рівняння для верхньотрикутної матриці можна розв'язати аналогічно, лише в зворотньому порядку.
- ↑ а б Булдигін, 2011, с. 10.
- ↑ The Cayley-Hamilton Theorem
- Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)
- В. В. Булдигін, І. В. Алєксєєва, В. О. Гайдей, О. О. Диховичний, Н. Р. Коновалова, Л. Б. Федорова. Лінійна алгебра та аналітична геометрія. — Київ : ТВіМС, 2011. — 224 с.