Функції Бесселя

Даніель Бернуллі

Фрідріх Бессель

Функції Бесселя в математиці — сімейство функцій, що є канонічними розв'язками диференціального рівняння Бесселя:

$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0,$

де $\alpha$ — довільне дійсне число, зване порядком. Найчастіше використовувані функції Бесселя — функції цілих та напівцілих порядків.

Хоча $\alpha$  і $-\alpha$ породжують однакові рівняння, зазвичай домовляються про те, щоб їм відповідали різні функції (це робиться, наприклад, для того, щоб функція Бесселя була гладкою по $\alpha$).

Функції Бесселя вперше були визначені швейцарським математиком Даніелем Бернуллі, а названі на честь Фрідріха Бесселя.

Застосування

Рівняння Бесселя виникає під час знаходження розв'язків рівняння Лапласа і рівняння Гельмгольца в циліндричних і сферичних координатах. Тому функції Бесселя застосовуються при розв'язуванні багатьох задач про поширення хвиль, статичні потенціали тощо, наприклад:

• електромагнітні хвилі в циліндровому хвилеводі;
• теплопровідність в циліндрових об'єктах;
• форми коливання тонкої круглої мембрани
• швидкість частинок в заповненому рідиною циліндрі, що обертається навколо своєї осі.

Функції Бесселя застосовуються і при розв'язуванні інших задач, наприклад, при обробці сигналів.

Визначення

Оскільки наведене рівняння є рівнянням другого порядку, у нього повинно бути два лінійно незалежних розв'язки. Проте залежно від обставин вибираються різні визначення цих розв'язків. Нижче наведені деякі з них.

Функції Бесселя першого роду

Функціями Бесселя першого роду, що позначаються $J_{\alpha }(x)$, є розв'язки, скінченні в точці $x=0$ при цілих або невід'ємних $\alpha$. Вибір конкретної функції та її нормалізації визначаються її властивостями. Можна визначити ці функції за допомогою розкладання в ряд Тейлора біля нуля (або в загальніший степеневий ряд при нецілих $\alpha$):

$J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }$

Тут $\Gamma (z)$ є гамма-функція Ейлера, узагальнення факторіалу на нецілі значення. Графік функції Бесселя схожий на синусоїду, коливання якої згасають пропорційно ${\frac {1}{\sqrt {x}}}$, хоча насправді нулі функції розташовані не періодично.

Нижче наведені графіки $J_{\alpha }(x)$ для $\alpha =0,1,2$:

Графік функції Бесселя першого роду J

Якщо $\alpha$ не є цілим числом, функції $J_{\alpha }(x)$ і $J_{-\alpha }(x)$ лінійно незалежні і, отже, є розв'язками рівняння. Але якщо $\alpha$ ціле, то правильне таке співвідношення:

$J_{-\alpha }(x)=(-1)^{\alpha }J_{\alpha }(x)\,$

Воно означає, що на разі функції лінійно залежні. Тоді другим розв'язком рівняння стане функція Бесселя другого роду (дивись нижче).

Інтеграли Бесселя

Можна надати інше визначення функції Бесселя для цілих значень $\alpha$, використовуючи інтегральне зображення:

$J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }\!\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )\,d\tau$

Цей підхід використовував Бессель, дослідивши за його допомогою деякі властивості функцій. Можливе і інше інтегральне зображення:

$J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\!e^{i(\alpha \tau -x\sin \tau )}\,d\tau$

Функції Бесселя другого роду

Функції Бесселя другого роду — розв'язки $Y_{\alpha }(x)$ рівняння Бесселя, нескінченні в точці $x=0$.

$Y_{\alpha }(x)$ також іноді називають функцією Неймана, і позначають як $N_{\alpha }(x)$. Ця функція пов'язана з $J_{\alpha }(x)$ таким співвідношенням:

$Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}},$

де у разі цілого $\alpha$ береться границя по $\alpha$, обчислювана, наприклад, за допомогою правила Лопіталя.

Нижче приведені графіки $Y_{\alpha }(x)$ для $\alpha =0,1,2$:

Графік функції Бесселя другого роду Y

Властивості

Асимптотика

Для функцій Бесселя відомі асимптотичні формули. При малих аргументах $(0<x\ll {\sqrt {\alpha +1}})$ і невід'ємних $\alpha$ вони виглядають так:

$J_{\alpha }(x)\rightarrow {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }$

$Y_{\alpha }(x)\rightarrow \left\{{\begin{matrix}\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\left[\ln(x/2)+\gamma \right]&{\mbox{:}}\quad \alpha =0\\\\\displaystyle -{\frac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\frac {2}{x}}\right)^{\alpha }&{\mbox{:}}\quad \alpha >0\end{matrix}}\right.$

де $\gamma$ — стала Ейлера — Маскероні $(0.5772\dots )$, а $\Gamma$ — гамма-функція Ейлера. Для великих аргументів $(x\gg |\alpha ^{2}-1/4|)$ формули виглядають так

$J_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cos \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$

$Y_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\sin \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right).$

Гіпергеометричний ряд

Функції Бесселя можуть бути виражені через гіпергеометричну функцію:

$J_{\alpha }(z)={\frac {(z/2)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}(\alpha +1;-z^{2}/4).$

Таким чином, при цілих n функція Бесселя однозначна аналітична, а при нецілих — багатозначна аналітична.

Функції Бесселя як коефіцієнти рядів

Існує представлення для функцій Бесселя першого роду і цілого порядку через коефіцієнти ряду Лорана функції певного вигляду, а саме

$e^{\displaystyle {\frac {z}{2}}\left(w-{\frac {1}{w}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }J_{n}(z)w^{n}$

Твірна функція для функції Бесселя $J_{\alpha }(x)$

$g(x,t)=\exp[{\frac {x}{2}}(t-{\frac {1}{t}})]=\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }J_{\alpha }(x)t^{n},$

де $J_{\alpha }(x)$визначена у області $0\leq x\leq \infty .$

Розклад у ряд Лорана та коефіцієнти $J_{\alpha }(x)$ можна знайти

$J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi l}}\int _{C}{\frac {g(x,t)}{t^{n+1}}}dt.$

В якості констура $C$ навколо точки $t=0$ обирається окружність одиничного радіусу у площині $t,$ де $t=\exp(i\theta ).$ Таким чином,

$J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\exp\{[x(e^{i\theta }-e^{-i\theta })/2]\}i\exp(i\theta )d\theta }{[\exp(i\theta )]^{\alpha +1}}}$

та

$J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{}^{2\pi }\exp[i(x\sin \theta -n\theta )]d\theta .$

Дивись також

• Циліндричні функції
• Сферичні функції
• Модифіковані функції Бесселя
• Промінь Бесселя, Промінь Ейрі
• Твірний функціонал

Література

• Ватсон Г., «Теория бесселевых функций» т. 1,2 М., ИЛ, 1949 г.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. «Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены». Справочная математическая библиотека М. Физматгиз 1966 г. 296 с.