Аргументи максимізації та мінімізації

Аргуме́нт максиміза́ції (argmax або arg max) — значення аргументу, при якому даний вираз досягає максимуму. Іншими словами, ${\underset {x}{\operatorname {argmax} }}\,f(x)$ — є значення $x~$, при якому $f(x)~$ досягає свого найбільшого значення. Є розв'язком задачи максимізації функції скінченної кількості аргументів .

${\underset {x}{\operatorname {argmax} }}\,f(x)\quad \in \quad \{x\ |\ \forall y:f(y)\leq f(x)\}$

Аргумент максимізації визначається єдиним чином тоді і лише тоді, коли максимум досягається в єдиній точці: $x_{0}={\underset {x}{\operatorname {argmax} }}\,f(x)\Leftrightarrow \max f(x)=f(x_{0})$

Якщо ж максимум досягається в декількох точках, то argmax може бути розширений до набору розв'язків.

Аргуме́нт мініміза́ції (argmin або arg min) — аргумент, при якому даний вираз досягає мінімуму.

${\underset {x}{\operatorname {argmin} }}\,f(x)\quad \in \quad \{x\ |\ \forall y:f(y)\geq f(x)\}$

Приклади

• ${\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {argmax} }}(x(10-x))=5$, так як максимум функції, рівний 25, досягається при $x=5~$.
• ${\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {argmax} }}\,\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \}$, так як $\max {\cos x}=1~$ на відрізку $[0,4\pi ]$ досягається при $x=0,2\pi ,4\pi ~$