C*-алгебра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

C*-алгебри (вимовляється "Це-зірка") - важлива область досліджень у функціональному аналізі. Прототипом усіх C*-алгебр є комплексна алгебра A лінійних операторів на комплексному Гільбертовому просторі з двома додатковими властивостями:

  • A є топологічно замкнутою множиною у топологічній нормі операторів.
  • A є замкнутою щодо операції взяття спряженого оператора.

Вважається, що C*-алгебри почали розглядатися з огляду на їх важливість у квантовій механіці при моделюванні абстрактних фізичних спостережуваних. Дослідження почалися із робіт Вернера Гейзенберга по матричній механіці, та були більш математично обґрунтовані Паскуалем Йорданом у 1933 році. Відповідно фон Нейман пробував математично узагальнити структуру цих алгебр.

Біля 1943 року, у працях Ізраеля Гельфанда та Марка Наймарка було дано означення C*-алгебр без огляду на оператори.

Абстрактне визначення[ред.ред. код]

Спочатку дамо абстрактне означення C*-алгебр, дане у роботі 1943 року Гельфандом і Наймарком.

C*-алгебра, A, це банахів простір над полем комплексних чисел, разом із відображенням, * : AA, яке зветься інволюцією. Образ елемента x з A при інволюції пишеться x*. Інволюція має наступні властивості:

  • Для всіх x, y у A:
 (x + y)^* = x^* + y^* \,
 (x y)^* = y^* x^* \,
  • Для кожного λ у C та кожного x у A:
 (\lambda x)^* = \overline{\lambda} x^* .
  • Для всіх x у A
 (x^*)^* = x \,
  • C*–тотожність стверджує, що для всіх x у A:
  \|x^* x \| = \|x\|\|x^*\| .
C* тотожність еквівалентна до того, що для всіх x із A:
  \|x x^* \| = \|x\|\|x^*\| .

Приклади[ред.ред. код]

Скінченновимірні C*-алгебри[ред.ред. код]

Алгебра Mn(C) n-на-n матриць над C стане C*-алгеброю, якщо ми розглянемо матриці як оператори на евклідовому просторі, Cn, та використаємо операторну норму ||.|| для матриць. Інволюція тоді буде комплексним спряженням з транспозицією.

C*-алгебри операторів[ред.ред. код]

Класичним прикладом C*-алгебри є алгебра B(H) обмежених (або що еквівалентно неперервних) лінійних операторів визначених на комплексному гільбертовому просторі H; тут x* позначає ермітово спряжений оператор до x: HH. Насправді, кожна C*-алгебра, A, є *-ізоморфною до замкненої за нормою підалгебри B(H) для спеціально вибраного гільбертового простору, H; це твердження називається теоремою Гельфанда-Наймарка.

C*-алгебри і квантова теорія поля[ред.ред. код]

У квантовій теорії поля, зазвичай фізичну систему описують C*-алгеброю A з одиничним елементом; самоспряжені елементи з A (елементи x із властивістю x* = x) називаються спостережуваними, і є вимірними величинами системи. Стан системи визначається як додатній функціонал на A (C-лінійне відображення φ : AC з φ(u* u) ≥ 0 для всіх uA) такий що φ(1) = 1. Очікувальне значення спостережуваної x, якщо система перебуває у стані φ, є тоді φ(x).

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]