H∞-керування

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

H на нескінче́нності або \mathcal{H}_\infty — метод теорії керування для синтезу оптимальних контролерів. Метод є оптимізаційним, що має справу із строгим математичним описом передбачуваної поведінки замкненої системи і її стійкості. Метод примітний своєю строгою математичною базою, оптимізаційним характером і застосовністю як до класичного, так і надійного керування.

\mathcal{H} є нормою в просторі Гарді. «Нескінченність» говорить про виконання мінімаксних умов в частотній області. \mathcal{H}_\infty-норма динамічної системи, дорівнює максимальному підсиленню системи по енергії. У разі MIMO-систем вона дорівнює максимальному сингулярному значенню передавальної функції системи, у разі SISO-систем вона дорівнює максимальному значенню амплітуди її частотної характеристики.

Постановка задачі[ред.ред. код]

Спочатку система повинна бути приведена до стандартного вигляду:

H-infty plant representation.png

Об'єкт управління P має два входи, дві зовнішні дії w, які включають сигнал завдання і збурення. Контрольована змінна позначена u. Це вектор вихідних сигналів системи, що складається з сигналу похибки z, який треба мінімізувати і зміряна змінна v, яка використовується в контурі керування. v використовується в До для підрахунку змінної u.

Рівняння системи:

\begin{bmatrix} z\\ v \end{bmatrix} = P(s)\, \begin{bmatrix} w\\ u\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}P_{11}(s) & P_{12}(s)\\P_{21}(s) & P_{22}(s)\end{bmatrix} \, \begin{bmatrix} w\\ u\end{bmatrix}
u = K(s) \, v

Таким чином можливо виразити залежність z від w:

z=F_l(P,K)\,w

й далі:

F_l(P,K) = P_{11} + P_{12}\,K\,(I-P_{22}\,K)^{-1}\,P_{21}

Таким чином, метою \mathcal{H}_\infty-керування є синтез такого контролера K, F_l(P,K), який мінімізував би \mathcal{H}_\infty-норму системи. Те ж стосується й \mathcal{H}_2-керування . Норма на нескінченності матриці F_l(P,K) визначається як:

||F_l(P,K)||_\infty = \sup_\omega \bar{\sigma}(F_l(P,K)(j\omega))

де \bar{\sigma} — максимальне сингулярне значення матриці F_l(P,K)(j\omega).