L-момент

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У статистиці, L-моменти є послідовність статистики для узагальнення форми розподілу ймовірностей. Вони є лінійними комбінаціями порядкових статистик (L-статистики), аналогічних звичайних моментів, і можуть бути використані для розрахунку величин, аналогічні стандартним відхиленням, асиметричності і ексцесу, званий L-шкали, L-асиметрію і L-ексцес відповідно (L-середні ідентичний звичайному середньому). Стандартизовані L-моменти називаються відносини L-момент і аналогічні стандартизованим моментам. Так само, як і для звичайних моментів, теоретичне розподіл має безліч популяцій L-моментів. Приклади L-моменти можуть бути визначені для вибірки з населення, і можуть бути використані як оцінки населення L-моментів

Населення L-моменти[ред.ред. код]

Для випадкової величини X, rth населення L-момент [1]

де Xk: n позначає статистику порядку (kth — найменше значення) в незалежній вибірці обсягу n з розподілу X і E позначає очікуване значення. Зокрема, перші чотири популяції L-моменти

Відзначимо, що коефіцієнти к-го L-моменту такі ж, як в к-го члена бінома перетворення, як він використовується в кінцевих різницях к-го порядку (кінцева аналогового до похідної).

Перші два з цих L-моментів мають звичайні назви :

L-шкала дорівнює половині різниці середніх. [2]

Зразки L-моментів[ред.ред. код]

отже, в середньому шляхом ділення біноміального коефіцієнта:

Угруповання цих статистик підраховує число способів елемент зразка n-елемента може бути -я елементом jth елемента підмножини, і дає формули за допомогою наступної форми. Прямі оцінок для перших чотирьох L-моментів в кінцевій вибірці з n спостережень: [3]

де x(i) — ithстосовно статистиці — біноміальний коефіцієнт. Приклади L-моментів можуть бути також визначені непрямим чином з точки зору ймовірності зважених моментів, що призводить до більш ефективного алгоритму для їх обчислення.[3][4]

Коефіцієнти L-моментів[ред.ред. код]

Набір L-моментів або масштабованих L-моментів, визначається

Найбільш корисний з таких — , називається L- асиметрією, та , називається L- ексцес.

Коефіцієнти L-моментів лежать в інтервалі (–1, 1). Жорсткість оцінки можна знайти для деяких певних співвідношеннях L-момент; зокрема, L-ексцес який лежить в [-¼,1), та

[1]

Величина, аналогічно коефіцієнту варіації, але на основі L-моментів, також можуть бути визначені: які називаються «коефіцієнт L-варіації», або «L-CV». Для невід'ємної випадкової величини, це лежить в інтервалі (0,1) і ідентично коефіцієнту Джині.

Пов'язані з нею величини[ред.ред. код]

L-моменти статистичні величини, отримані з імовірнісних зважених моментів (PWM), які були визначені раніше (1979). PWM використовуються для ефективної оцінки параметрів розподілів в спеціальній зворотній формі, такій як Gumbel, Tukeyі розподілів Wakeby

Використання[ред.ред. код]

Є два найпоширеніші способи, які використовуються в L-моментах, в обох випадках за аналогією зі звичайними моментами:

  1. Як статистики для даних.
  2. Для отримання оцінок параметрів імовірнісних розподілів, застосовуючи метод моментів до L-моментів, а не звичайних моментів.

На додаток до виконання цих стандартних моментів, останній (оцінка) частіше робиться з використанням максимальних методів правдоподібності; Однак за допомогою L-моментів забезпечує ряд переваг. Зокрема, L-моменти є більш надійними, ніж звичайні моменти, і існування вищих L-моментів вимагає тільки те, що випадкова величина має кінцеве середнє. Одним з недоліків співвідношення L-моментів для оцінкою їх зазвичай менша чутливість. Наприклад, розподіл Лапласа має ексцес 6 і слабкі експоненційні краї, а співвідношення L-момент більше, ніж 4-е, наприклад, розподіл студентів з радіопеленгованія = 3, які мають нескінченний ексцес і набагато важчі край.

Як приклад розглянемо набір даних з декількома точками даних і одного віддаленого значення даних. Якщо звичайний стандартне відхилення цього набору даних буде прийматися під сильним впливом цієї однієї точки: Однак, якщо L-масштаб буде братися менш чутливо до цього значення даних. Отже, L-моменти є більш значущими при розгляді випадають в даних, ніж звичайні моменти. Проте, є й інші, краще відповідні методи для досягнення вищої надійності, ніж просто замінюючи моменти на L-моменти. Одним із прикладів цього, є використання L-моментів, як зведені статистичні дані в теорії екстремальних значень (EVT). Ця програма показує обмежену стійкість L-моментів, тобто L-статистичні дані не є стійкими до статистики том як одне екстремальне значення може збити їх, тому, що вони є тільки лінійні (статистика не високого порядку), вони менш схильні до екстремальних значення, ніж звичайні моменти.

Ще одна перевага L-моментів в порівнянні зі звичайними моментами є те, що їх існування вимагає тільки випадкової величини, щоб мати кінцеве середнє, так що існують L-моменти, навіть якщо вищі звичайні моменти не існують (наприклад, для розподілу студента з низьким ступенем свободи). Кінцева дисперсія додатково необхідна для того, щоб стандартні помилки оцінок L-моментів були кінцевими.[1]

Деякі виступи L-моментів у статистичній літературі включають в книзі Девіда і Нагараджа (2003, розділ 9.9), а також ряд документів. Ряд сприятливих порівнянь L-моментів зі звичайними моментами були зареєстровані.[5][6]

Значення для деяких загальних розподілів[ред.ред. код]

У таблиці нижче наведені вирази для перших двох L-моментів і чисельних значень перших двох L-моментів співвідношень деяких загальних безперервних імовірнісних розподілів з постійними коефіцієнтами L-моментів. Більш складні отримані вирази для деяких додаткових розподілів, для яких коефіцієнти L миттю змінюються з одним або декількома з дистрибутивних параметрів, в тому числі логарифмічно нормального, гамма, узагальнення паретовського, генералізовані екстремальних значень і узагальнених логістичних розподілів. [1]

розподіл Параметри значення, λ1 L-масштаб, λ2 L-асиметрія, τ3 L-ексцес, τ4
форма a, b (a+b) / 2 (ba) / 6 0 0
логістика μ, s μ s 0 0.1667 !16 = 0.1667
середнє значення μ, σ2 μ σ / √π 0 0.1226
Лаплас μ, b μ 3b / 4 0 0.2357 !1 / (3√2) = 0.2357
Student's t, 2 d.f. ν = 2 0 π/23/2 = 1.111 0 0.375 !38 = 0.375
Student's t, 4 d.f. ν = 4 0 15π/64 = 0.7363 0 0.2168 !111/512 = 0.2168
показники λ 1 / λ 1 / (2λ) 0.3333 !13 = 0.3333 0.1667 !16 = 0.1667
Гамбел μ, β μ + γβ β log 2 0.1699 0.1504

Позначення параметрів кожного розподілу є таким же, що і в пов'язаній статті. У вираженні для середнього значення розподілу Гумбеля, γ є Euler-Mascheroni константа 0,57721 ….

Розширення[ред.ред. код]

Обрізані L-моменти є узагальненням L-моментів, які дають нульову вагу до екстремальних спостереженнями. Таким чином, вони більш стійкі до наявності викидів, і на відміну від L-моментів вони можуть бути чітко визначені для розподілів, для яких середнє значення не існує, таких як розподіл Коші. [7]

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

  1. а б в г Hosking, J.R.M. (1990). L-moments: analysis and estimation of distributions using linear combinations of order statistics. Journal of the Royal Statistical Society, Series B 52. с. 105–124. JSTOR 2345653. 
  2. Jones, M.C. (2002). Student's Simplest Distribution. Journal of the Royal Statistical Society, Series D 51 (1). с. 41–49. JSTOR 3650389. doi:10.1111/1467-9884.00297. 
  3. а б Wang, Q. J. (1996). Direct Sample Estimators of L Moments. Water Resources Research 32 (12). с. 3617–3619. doi:10.1029/96WR02675. 
  4. L Moments. 6 January 2006.  NIST Dataplot documentation
  5. Royston, P. (1992). Which measures of skewness and kurtosis are best?. Statistics in Medicine 11 (3): 333–343. doi:10.1002/sim.4780110306.  Вказано більш, ніж один |DOI= та |doi= (довідка)
  6. Ulrych, T. J.; Velis, D. R.; Woodbury, A. D.; Sacchi, M. D. (2000). L-moments and C-moments. Stochastic Environmental Research and Risk Assessment 14 (1): 50–68. doi:10.1007/s004770050004.  Вказано більш, ніж один |DOI= та |doi= (довідка)
  7. Elamir, Elsayed A. H.; Seheult, Allan H. (2003). Trimmed L-moments. Computational Statistics & Data Analysis 43 (3): 299–314. doi:10.1016/S0167-9473(02)00250-5.  Вказано більш, ніж один |author2= та |last2= (довідка); Вказано більш, ніж один |DOI= та |doi= (довідка)

Посилання[ред.ред. код]