N-вимірна евклідова геометрія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Багатови́мірний про́стірпростір, число вимірів (розмірність) якого більше трьох. Прикладом Багатовимірного простору є n-вимірний евклідів простір (при n > 3). Назвімо точкою M (x1, x2, … , xn) сукупність n дійсних чисел x1, x2, … , xn (координат точки), взятих у певному порядку, і віддаллю між точками M (x1, x2, … , xn) і M' (x'1, x'2, … , x'n) величину

Множина точок, що утвориться, коли числам x1, x2, … , xn надавати всіх можливих дійсних значень, називається n-вимірним евклідовим простором (багатовимірним, якщо n > 3 ), а число n — його розмірністю. Розглядаючи M(x1), M(x1, x2), M(x1, x2, x3) відповідно як точку прямої, площини, простору (в звичайному розумінні цього слова), визначену її декартовими координатами, помічаємо, що при n = 1, 2, 3 n-вимірний евклідів простір є відповідно евклідовою прямою, площиною, простором. На підставі формули (1) запроваджуємо поняття прямолінійного відрізка MM' як такої множини точок P, що MP + PM' = MM'.

Система n — k взаємно незалежних лінійних рівнянь із змінними x1, x2, … , xn визначає k-вимірну «площину» n-вимірного евклідового простору; (п — 1)-вимірні площини називається гіперплощинами. Якщо M — зафіксована точка, то множина точок P, для яких MP < r, наз. кулею (відкритою) радіуса r з центром M. Виходячи з цих понять, дамо загальне означення n-вимірного простору. Так називається топологічний простір, який у кожній своїй точці має розмірність n (див. Топологія). У важливіших випадках це означає, що кожна його точка має окіл, який можна взаємно однозначно і взаємно неперервно відобразити на відкриту кулю n-вимірного евклідового простору.

Запровадження поняття Багатовимірного простору не означає, що математики заперечують тривимірність реального фізичного простору; цим поняттям користуються при вивченні форм і співвідношень (не обов'язково геометричних), схожих за своїми властивостями на просторові форми і співвідношення. Зокрема, це стосується вивчення функцій від багатьох змінних.

Джерела і література[ред.ред. код]