P-група

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У математиці p-групою, де p  — просте число, називається група в якій порядок кожного елемента є степенем числа p, тобто для кожного елемента g існує натуральне число n, що gn=1. Якщо група скінченна, то її порядок тоді теж рівний деякій степені числа p (це випливає з першої теореми Силова). В основному інтерес представляють саме скінченні p-групи.

Центр p-групи[ред.ред. код]

Однією з найважливіших властивостей скінченних p-груп є наступна теорема:

  • Центр нетривіальної скінченної p-групи є нетривіальною групою.

Доведення[ред.ред. код]

Візьмемо деяку p-групу G () і задамо дію групи G на множині G:

Спершу доведемо, що орбіта довільного елемента складається лише з того елемента тоді і лише тоді коли даний елемент належить до центру групи:

Візьмемо довільний . Тоді:

Далі доведемо, що якщо деяка орбіта має більш ніж один елемент то її потужність ділиться на p:

Припустимо, що для маємо . Оскільки стабілізатор є підгрупою G, то згідно з теоремою Лагранжа кількість його елементів ділить кількість елементів G , отже . Далі:

G є об'єднанням орбіт:

Звідси отримуємо:

де s  — кількість орбіт, що містять більше одного елемента, а всі ai більше нуля. З останньої формули одержуємо, що |Z(G)| ділиться на p.

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо нормальна в , то .
Дана властивість одержується з теореми про центр, якщо врахувати, що будь-яка підгрупа p-групи сама є p-групою і що нормальна підгрупа інваріантна до спряжень. Тому в попередньому доведенні можна взяти H замість P і замість Z(P).

Скінченні p-групи невеликих порядків[ред.ред. код]

Число різних -групп порядку [ред.ред. код]

  • Число неізоморфних груп порядку рівне 1: група .
  • Число неізоморфних груп порядку рівно 2: групи і .
  • Число неізоморфних груп порядку рівне 5, з них три абелеві: , , і дві неабелеві: при і ; при p = 2 — , .
  • Число неізоморфних груп порядку рівне 15 при , число груп порядку рівне 14.
  • Число неізоморфних груп порядку рівне при . Число груп порядку рівне 51, число груп порядку рівне 67.
  • Число неізоморфних груп порядку рівне при . Число груп порядку рівне 267, число груп порядку рівне 504.
  • Число неізоморфних груп порядку рівне при . Число груп порядку рівне 2328, число груп порядк рівне 9310, число груп порядку рівне 34297.

p-групи порядку pn, асимптотика[ред.ред. код]

При число неізоморфних груп порядку асимптотично рівне .

Література[ред.ред. код]