P-група

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У математиці p-групою, де p  — просте число, називається група в якій порядок кожного елемента є степенем числа p, тобто для кожного елемента g існує натуральне число n, що gn=1. Якщо група скінченна, то її порядок тоді теж рівний деякій степені числа p (це випливає з першої теореми Силова). В основному інтерес представляють саме скінченні p-групи.


Центр p-групи[ред.ред. код]

Однією з найважливіших властивостей скінченних p-груп є наступна теорема:

  • Центр нетривіальної скінченної p-групи є нетривіальною групою.

Доведення[ред.ред. код]

Візьмемо деяку p-групу G (|G| = p^k) і задамо дію групи G на множині G:

~\phi\colon G\times G \to G; \phi(g,x)=gxg^{-1}

Спершу доведемо, що орбіта довільного елемента складається лише з того елемента тоді і лише тоді коли даний елемент належить до центру групи:

\forall_{x\in G}|G(x)| = 1 \iff x \in Z(G)

Візьмемо довільний g\in G. Тоді:

gxg^{-1}=x=gg^{-1}x \iff gxg^{-1} = gg^{-1}x \iff x \in Z(G)

Далі доведемо, що якщо деяка орбіта має більш ніж один елемент то її потужність ділиться на p:

\forall_{x\in G}|G(x)| > 1 \Rightarrow p | |G(x)|

Припустимо, що для x \in G маємо |G(x)| > 1. Оскільки стабілізатор G_x є підгрупою G, то згідно з теоремою Лагранжа кількість його елементів ділить кількість елементів G , отже |G_x|=p^l,l>0. Далі:

|G(x)| = |G:G_x| = \frac{|G|}{|G_x|} = \frac{p^k}{p^l} = p^{k-l}

G є об'єднанням орбіт:

G = \bigcup G(x) = \bigcup_{|G(x)| = 1}G(x) \cup \bigcup_{|G(x)| > 1}G(x)

Звідси отримуємо:

p^k = |G| = \sum\limits_{|G(x)|=1}|G(x)| + \sum\limits_{|G(x)|>1}G(x)=|Z(G)| + \sum_{i=1}{s}p^{a_i}

де s  — кількість орбіт, що містять більше одного елемента, а всі ai більше нуля. З останньої формули одержуємо, що |Z(G)| ділиться на p.

Властивості[ред.ред. код]

Дана властивість одержується з теореми про центр, якщо врахувати, що будь-яка підгрупа p-групи сама є p-групою і що нормальна підгрупа інваріантна до спряжень. Тому в попередньому доведенні можна взяти H замість P і H \cap Z(P) замість Z(P).

Скінченні p-групи невеликих порядків[ред.ред. код]

Число різних p-групп порядку p^n[ред.ред. код]

  • Число неізоморфних груп порядку p рівне 1: група C_{p}.
  • Число неізоморфних груп порядку p^2 рівно 2: групи C_{p^2} і C_{p}\times C_{p}.
  • Число неізоморфних груп порядку p^3 рівне 5, з них три абелеві: C_{p^3}, C_{p^2}\times C_{p}, C_{p}\times C_{p}\times C_{p} і дві неабелеві: при p>2E_{p^3}^+ і E_{p^3}^-; при p = 2 — D_8, Q_8.
  • Число неізоморфних груп порядку p^4 рівне 15 при p>2, число груп порядку 2^4 рівне 14.
  • Число неізоморфних груп порядку p^5 рівне 2p + 61  + 2GCD(p-1,3) + GCD(p-1,4) при p\geq 5. Число груп порядку 2^5 рівне 51, число груп порядку 3^5 рівне 67.
  • Число неізоморфних груп порядку p^6 рівне 3p^2 + 39p + 344 + 24GCD(p-1,3)+ 11GCD(p-1,4)+ 2GCD(p-1,5) при p\geq 5. Число груп порядку 2^6 рівне 267, число груп порядку 3^6 рівне 504.
  • Число неізоморфних груп порядку p^7 рівне 3p^5+12p^4+44p^3+170p^2+707p+2455+(4p^2+44p+291)GCD(p-1,3)+(p^2+19p+135)GCD(p-1,4)+(3p+31)GCD(p-1,5)+4GCD(p-1,7)+5GCD(p-1,8)+GCD(p-1,9) при p>5. Число груп порядку 2^7 рівне 2328, число груп порядк 3^7 рівне 9310, число груп порядку 5^7 рівне 34297.

p-групи порядку pn, асимптотика[ред.ред. код]

При n\rightarrow\infty число неізоморфних груп порядку p^n асимптотично рівне p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^3}.

Література[ред.ред. код]