Signum-функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У математиці, sign функція, signum функція або функція знакулатинської signum «знак»)  — це непарна математична функція, яка «витягує» знак дійсного числа. У математичних виразах функція sign часто зустрічається як sgn.

Означення[ред. | ред. код]

Функція знаку y = sgn(x)


Функція знаку дійсного числа x визначається наступним чином:

Або як:

Властивості[ред. | ред. код]

Будь-яке дійсне число може бути представлене у вигляді добутку його абсолютного значення і його функції знаку:

Звідси випливає, що при

Так само і для будь-якого дійсного числа x

Ми також можемо переконатися, що

Функція є похідною функції з точністю до невизначеності при x = 0:

Більш формально, в теорії інтегрування функцій  — це слабка похідна, а в теорії опуклих функцій субдиференціалом абсолютного значення при є інтервал , «заповнення» функції знаку (субдиференціал абсолютного значення не є однозначним при ).

Функція знаку не є неперервною у точці x = 0

Похідна функції дорівнює 0 для всіх x крім 0. Вона не є диференційовною при у звичайному сенсі, але диференційовною в узагальненому сенсі в теорії розподілу, похідною від функції є дельта-функція Дірака, що можна показати за допомогою тотожності

де H(x) функція Хевісайда, H(0) = 12. Використовуючи цю тотожність, легко знайти похідну:

Перетворення Фур'є функції має вигляд

де p.v. головне значення інтеграла за Коші.

Функцію також можна виразити за допомогою дужки Айверсона

Функцію можна записати з використанням функцій підлоги та абсолютного значення:

Для k ≫ 1 неперервне наближення функції знаку має вигляд:

Інше наближення має вигляд:

яке стає «гострішим» при ε → 0; зауважимо, що це похідна від функції x2 + ε2. Це ґрунтується на тому факті, що для всіх x ≠ 0 якщо ε = 0, і дає переваги для простого узагальнення на багатовимірні аналоги функції знаку (наприклад, частинні похідні функції x2 + y2).

Комплексний випадок[ред. | ред. код]

Функцію можна узагальнити на комплексні числа:

для будь-якого комплексного числа z, крім z = 0. Таким чином, значення функції буде точкою на одиничному колі комплексної площини, що найближча до точки z. Тоді для z ≠ 0:

де аргумент комплексного числа.

Комплексний варіант

З міркувань симетрії та для належного узагальнення функції на множині дійсних чисел, зазвичай дану функцію на комплексній площині визначають і для z = 0:

Іншим узагальненням функції для дійсних і комплексних виразів є функція csgn, що визначається як

де Re(z) дійсна частина числа z, а Im(z) комплексна частина z. Тоді для z ≠ 0 маємо

Узагальнена функція знаку[ред. | ред. код]

Для дійсних значень x можна визначити узагальнену функцію (аналог функції знаку) ε(x), таку, що (ε(x))2 = 1 для всіх x, у тому числі і в точці x = 0 (на відміну від функції , для якої (sgn(0))2 = 0). Ця узагальнена функція дозволяє побудувати алгебру узагальнених функцій, але ціною такого узагальнення є втрата комутативності. Зокрема, узагальнена функція знаку антикомутує з дельта-функцією Дірака

крім цього, ε(x) не можливо визначити при x = 0; і спеціальне позначення ε необхідне, щоб відрізнити її від функції знаку (ε(0) не визначено, але sgn(0) = 0).

Див. також[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]

  • Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Основные математические формулы. Справочник. — Минск: Вышэйшая школа, 1988. — 269 с.