W-функція Ламберта визначається як обернена функція до
f
(
w
)
=
w
e
w
{\displaystyle f(w)=we^{w}}
комплексних
w
{\displaystyle w}
W
(
x
)
{\displaystyle W(x)}
LambertW
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {LambertW} (x)}
z
{\displaystyle z}
z
=
W
(
z
)
e
W
(
z
)
{\displaystyle z=W(z)e^{W(z)}}
W
{\displaystyle W}
елементарних функціях . Застосовується в комбінаториці , наприклад, при підрахунку кількості дерев , та при розв'язку рівнянь.
Функція вивчалась ще в роботі Леонарда Ейлера 1779 року, але не мала власної назви до 1980-х років. Як самостійна функція була введена в системі комп'ютерної алгебри Maple під іменем LambertW . Ім'я Йоганна Ламберта було вибране, оскільки Ейлер посилався в своїй роботі на праці Ламберта.
Дві головні гілки функції
W
0
{\displaystyle W_{0}}
W
−
1
{\displaystyle W_{-1}}
Графік W 0 (x ) для −1/e ≤ x ≤ 4 Оскільки функція
f
(
w
)
{\displaystyle f(w)}
ін'єктивною на інтервалі
(
−
∞
,
0
)
{\displaystyle (-\infty ,0)}
W
(
z
)
{\displaystyle W(z)}
[
−
1
e
,
0
)
{\displaystyle [-{\frac {1}{e}},0)}
z
=
x
⩾
−
1
/
e
{\displaystyle z=x\geqslant -1/e}
w
⩾
−
1
{\displaystyle w\geqslant -1}
W
0
(
x
)
{\displaystyle W_{0}(x)}
Всі гілки W задовільняють диференціальні рівняння
z
(
1
+
W
)
d
W
d
z
=
W
,
z
≠
−
1
/
e
.
{\displaystyle z(1+W){\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}=W,\quad z\neq -1/e.}
d
W
d
z
=
W
(
z
)
z
(
1
+
W
(
z
)
)
,
z
∉
{
0
,
−
1
/
e
}
.
{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}},\quad z\not \in \{0,-1/e\}.}
d
W
d
z
=
1
z
+
e
W
(
z
)
.
{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}.}
Ці рівняння можуть бути проінтегровані із застосуванням підстановки x = w ew
∫
W
(
x
)
d
x
=
x
W
(
x
)
−
x
+
e
W
(
x
)
+
C
=
x
(
W
(
x
)
−
1
+
1
W
(
x
)
)
+
C
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int W(x)\,{\rm {d}}x&=xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\&=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.\\\end{aligned}}}
Використовуючи
W
(
e
)
=
1
{\displaystyle W(e)=1}
∫
0
e
W
(
x
)
d
x
=
e
−
1.
{\displaystyle \int _{0}^{e}W(x)\,{\rm {d}}x=e-1.}
Ряд Тейлора для
W
0
{\displaystyle W_{0}}
теорему Лагранжа про обернення ряду як:
W
0
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
n
)
n
−
1
n
!
x
n
=
x
−
x
2
+
3
2
x
3
−
8
3
x
4
+
125
24
x
5
−
⋯
{\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}=x-x^{2}+{\frac {3}{2}}x^{3}-{\frac {8}{3}}x^{4}+{\frac {125}{24}}x^{5}-\cdots }
Застосувавши ознаку д'Аламбера знаходимо радіус збіжності 1/e . Функція визначена рядом може бути аналітично розширена до голоморфної функції з точками розгалуження (−∞, −1/e ].
Для великих значень x , W 0 асимптотична до
W
0
(
x
)
=
L
1
−
L
2
+
L
2
L
1
+
L
2
(
−
2
+
L
2
)
2
L
1
2
+
L
2
(
6
−
9
L
2
+
2
L
2
2
)
6
L
1
3
+
L
2
(
−
12
+
36
L
2
−
22
L
2
2
+
3
L
2
3
)
12
L
1
4
+
⋯
{\displaystyle {W_{0}(x)=L_{1}-L_{2}+{\frac {L_{2}}{L_{1}}}+{\frac {L_{2}(-2+L_{2})}{2L_{1}^{2}}}+{\frac {L_{2}(6-9L_{2}+2L_{2}^{2})}{6L_{1}^{3}}}+{\frac {L_{2}(-12+36L_{2}-22L_{2}^{2}+3L_{2}^{3})}{12L_{1}^{4}}}+\cdots }}
W
0
(
x
)
=
L
1
−
L
2
+
∑
ℓ
=
0
∞
∑
m
=
1
∞
(
−
1
)
ℓ
[
ℓ
+
m
ℓ
+
1
]
m
!
L
1
−
ℓ
−
m
L
2
m
{\displaystyle W_{0}(x)=L_{1}-L_{2}+\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\ell }\left[{\begin{matrix}\ell +m\\\ell +1\end{matrix}}\right]}{m!}}L_{1}^{-\ell -m}L_{2}^{m}}
де
L
1
=
ln
(
x
)
{\displaystyle L_{1}=\ln(x)}
L
2
=
ln
(
ln
(
x
)
)
{\displaystyle L_{2}=\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}}
[
ℓ
+
m
ℓ
+
1
]
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}\ell +m\\\ell +1\end{matrix}}\right]}
числа Стірлінга першого роду .
Залишивши тільки 2 перші доданки, отримаємо:
W
0
(
x
)
=
ln
(
x
)
−
ln
(
ln
(
x
)
)
+
o
(
1
)
.
{\displaystyle W_{0}(x)=\ln(x)-\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}+o(1).}
Інша дійсна гілка,
W
−
1
{\displaystyle W_{-1}}
e , 0), для
x
≥
e
{\displaystyle x\geq e}
ln
(
x
)
−
ln
(
ln
(
x
)
)
+
ln
(
ln
(
x
)
)
2
ln
(
x
)
≤
W
0
(
x
)
≤
ln
(
x
)
−
ln
(
ln
(
x
)
)
+
e
e
−
1
ln
(
ln
(
x
)
)
ln
(
x
)
{\displaystyle \ln(x)-\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}+{\frac {\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}}{2\ln(x)}}\leq W_{0}(x)\leq \ln(x)-\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}+{\frac {e}{e-1}}{\frac {\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}}{\ln(x)}}}
...
...
Corless et al. (1996). «On the Lambert W function». Adv. Computational Maths. 5: 329-359. 
![{\displaystyle W_{0}(x)=L_{1}-L_{2}+\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\ell }\left[{\begin{matrix}\ell +m\\\ell +1\end{matrix}}\right]}{m!}}L_{1}^{-\ell -m}L_{2}^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa9f4961c3de46e4c23ec4fb2f1a90c5707e4d78)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}\ell +m\\\ell +1\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58f214fe2ce2eb8e298d75c218820f00147a7446)
