Z-перетворенням (перетворенням Лорана) називають згортання вихідного сигналу, заданого послідовністю дійсних чисел у часовій області, в аналітичну функцію комплексної частоти. Якщо сигнал являє імпульсну характеристику лінійної системи, то коефіцієнти Z-перетворення показують відгук системи на комплексні експоненти
, тобто на гармонійні осциляції з різними частотами і швидкостями наростання / загасання.
Дискретна функція
є функцією, яка визначена у дискретні моменти часу
Таку функцію можна записати у вигляді
де
- неперервна змінна. Ця функція
характеризується тим, що вона визначається неперервною функцією (неперервного аргументу)
й примає її значення у моменти
Така функція називається ґратчастою функцією. Крім того, використовуєтьс зміщена ґратчаста функція
яка приймає значення неперервної функції у моменти
-перетворення - це співвідношення[1]
яке ставить у відповідність дискретній функції
функцію комплексної змінної
При цьому
називається оригіналом, а
- зображенням або
-зображенням.
-перетворення також умовно записується у вигляді
а зворотне
-перетворення - у вигляді
-перетворення із зміщеною ґратчастою функцією
тобто співвідношення
називають модифікованим
-перетворенням. Це перетворення також записується у вигляді
Наприклад, нехай потрібно визначити
-зображенням зміщеної ґратчастої функції
та зміщеної ґратчастої функції
Оскільки за усіх
то
По формулі нескінченно спадаючої геометричної прогресії
- існують додатні числа
та
такі, що ![{\displaystyle |x[lT]|<Mq^{t}\quad (\forall l\geq 0);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d910c6b36cc8e3f1e6a6321384706d6cc97b6d1)
![{\displaystyle x[lT]=0\quad (\forall l<0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3011193627bec4eb3dec5e50dc9a72896f4e98d8)
Перша властивість є необхідною для існування області збіжності ряду у правій частині, а друга властивість використовується для виводу деяких властивостей
-перетворення. Функції, які задовільняють вказаним двом властивостям, називають функціями-оригіналами.
- Лінійність. Модифіковане
-перетворення від лінійної комбінації дискретних функцій дорівнює лінійній комбінації їх модифікованих
-перетворень:
Тут
- константи.
- Запізнювання. Модифіковане
-перетворення від функції із запізнюваним аргументом
визначається як: ![{\displaystyle Z^{\varepsilon }\{x[(l-m)T]\}=z^{-m}Z^{\varepsilon }\{x[lT]\}=z^{-m}X(z,\varepsilon ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b9f311ddd13f4f5a3e45f325a24e9bf96fe5f60)
- Випередження. Модифіковане
-перетворення від функції із випереджуючим аргументом
визначається як:
Якщо
(початкові умови нульові), то ![{\displaystyle Z^{\varepsilon }\{x[(l+m)T]\}=z^{m}X(z,\varepsilon ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e48ef15f4ee5fc779487bb29a0142d4f8f97a85c)
- Згортання. Добуток зображень
та
дорівнює
-перетворенню від згортання їх оригіналів
та
: ![{\displaystyle X_{1}(z,\varepsilon )X_{2}(z,\varepsilon )=Z\{\sum _{k=0}^{l}x_{1}[(k+\varepsilon )T]x_{2}(l-k+\varepsilon )T\}=Z\{\sum _{k=0}^{l}x_{2}[(k+\varepsilon )T]x_{1}[(l-k+\varepsilon )T]\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c04234dfeb2917a9641bcb75389a7ea75cf5e261)
- Межеві значення. Початкове значення ґратчастої функції
по її звичайному та модифікованому
-зображенню визначається як:
Границя
за умови, що вона існує, визначається як: 
Z-перетворення, як і багато інтегральних перетворень, може бути як одностороннє, так і двостороннє.
Двостороннє Z-перетворення X (z) дискретного часового сигналу x [n] задається як:
.
де n — ціле, z — комплексне число.
,
де A — амплітуда, а
— кутова частота (у радіанах на відлік)
У випадках, коли x [n] визначена тільки для
, одностороннє Z-перетворення задається як:
.
Зворотне Z-перетворення визначається, наприклад, так:
,
де C — контур, що охоплює область збіжності X (z). Контур повинен містити всі відрахування X (z).
Поклавши в попередній формулі
, отримаємо еквівалентне визначення:
Позначення:
|
Сигнал, ![{\displaystyle x[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864cbbefbdcb55af4d9390911de1bf70167c4a3d) |
Z-перетворення,  |
Область збіжності
|
1 |
![{\displaystyle \delta [n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71bf83f188a8d5c544e4565e7690b4029baed424) |
 |
|
2 |
![{\displaystyle \delta [n-n_{0}]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37420bd43ae13a5c7f300b7e74cae6f08d38929a) |
 |
|
3 |
![{\displaystyle \theta [n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e55ea347c71f67463d1a4fc7b761144c171bdfe) |
 |
|
4 |
![{\displaystyle a^{n}\theta [n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00e9e84393e469ad438b55e6b09fb0eb9bf85428) |
 |
|
5 |
![{\displaystyle na^{n}\theta [n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c1fe10b5fa2e190f45e5cf899824a1779cdeb8f) |
 |
|
6 |
![{\displaystyle -a^{n}\theta [-n-1]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/106825854b913e23f470931f7769d2ce5e84dd7f) |
 |
|
7 |
![{\displaystyle -na^{n}\theta [-n-1]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a847fd761ce39e72fba2fd051e1c6403081190c) |
 |
|
8 |
![{\displaystyle \cos(\omega _{0}n)\theta [n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ccd2188b53f35080b2912de3a6ca4106da93248) |
 |
|
9 |
![{\displaystyle \sin(\omega _{0}n)\theta [n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38f5225ca57a1f14bedb040166939fbf595b7022) |
 |
|
10 |
![{\displaystyle a^{n}\cos(\omega _{0}n)\theta [n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8b3be4808ac16de2019d26cd58e1f37d964e502) |
 |
|
11 |
![{\displaystyle a^{n}\sin(\omega _{0}n)\theta [n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57f3d07aa4400db48dbca78afe886699a839ad10) |
 |
|
- ↑ Ким Д.П. Теория автоматического управления (том 1).