Z-перетворення

Z-перетворенням (перетворенням Лорана) називають згортання вихідного сигналу, заданого послідовністю дійсних чисел у часовій області, в аналітичну функцію комплексної частоти. Якщо сигнал являє імпульсну характеристику лінійної системи, то коефіцієнти Z-перетворення показують відгук системи на комплексні експоненти $E(n)=z^{-n}=r^{-n}e^{-i\omega n}$ , тобто на гармонійні осциляції з різними частотами і швидкостями наростання / загасання.

Визначення

Дискретна функція $x(t)$ є функцією, яка визначена у дискретні моменти часу $t=lT\,\,(l=0,1,2,...).$ Таку функцію можна записати у вигляді $x[lT],$ де $t$ - неперервна змінна. Ця функція $x[lT]$ характеризується тим, що вона визначається неперервною функцією (неперервного аргументу) $x(t)$ й примає її значення у моменти $t=lT\,\,(l=0,1,2,...).$ Така функція називається ґратчастою функцією. Крім того, використовуєтьс зміщена ґратчаста функція $x[(l+\varepsilon )T]\,\,(0<\varepsilon <1),$ яка приймає значення неперервної функції у моменти $t=(l+\varepsilon )T\,\,(l=0,1,2,...).$

$z$ -перетворення - це співвідношення^[1]

$X(z)=\sum _{l=0}^{\infty }x[lT]z^{-l},$

яке ставить у відповідність дискретній функції $x[lT]$ функцію комплексної змінної $X(z).$ При цьому $x[lT]$ називається оригіналом, а $X(z)$ - зображенням або $z$ -зображенням.

$z$ -перетворення також умовно записується у вигляді

$X(z)=Z\{x[lT]\},$

а зворотне $z$ -перетворення - у вигляді

$x[lT]=Z^{-1}\{X(z)\}.$

$z$ -перетворення із зміщеною ґратчастою функцією $x[(l+\varepsilon )T]z^{-l},$ тобто співвідношення

$X(z,\varepsilon )=\sum _{l=0}^{\infty }x[(l+\varepsilon )T]z^{-1},$

називають модифікованим $z$ -перетворенням. Це перетворення також записується у вигляді

$X(z,\varepsilon )=Z\{x[(l+\varepsilon )T]\}=Z^{\varepsilon }\{x[lT]\}.$

Наприклад, нехай потрібно визначити $z$ -зображенням зміщеної ґратчастої функції $x[lT]=1[lT]$ та зміщеної ґратчастої функції $x[(l+\varepsilon )T]=1[(l+\varepsilon )T].$ Оскільки за усіх $l\geq 0\quad 1[lT]=1[(l+\varepsilon )T]=1,$ то

$X(z)=X(z,\varepsilon )=\sum _{l=0}^{\infty }z^{-l}.$

По формулі нескінченно спадаючої геометричної прогресії

$Z\{1[lT]\}=Z\{1[(l+\varepsilon )T]\}={\frac {1}{1-z^{-1}}}={\frac {z}{z-1}}\quad (|z|>1).$

Властивості

існують додатні числа $M$ та $q$ такі, що $|x[lT]|<Mq^{t}\quad (\forall l\geq 0);$
$x[lT]=0\quad (\forall l<0).$

Перша властивість є необхідною для існування області збіжності ряду у правій частині, а друга властивість використовується для виводу деяких властивостей $z$ -перетворення. Функції, які задовільняють вказаним двом властивостям, називають функціями-оригіналами.

Лінійність. Модифіковане $z$ -перетворення від лінійної комбінації дискретних функцій дорівнює лінійній комбінації їх модифікованих $z$ -перетворень: $Z{\begin{Bmatrix}\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}[(l+\varepsilon )T]\end{Bmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}Z\{x_{i}[(l+\varepsilon )T]\}.$ Тут $a_{i}\quad (i={\overline {1,n}})$ - константи.
Запізнювання. Модифіковане $z$ -перетворення від функції із запізнюваним аргументом $x[(l-m)T]$ визначається як: $Z^{\varepsilon }\{x[(l-m)T]\}=z^{-m}Z^{\varepsilon }\{x[lT]\}=z^{-m}X(z,\varepsilon ).$
Випередження. Модифіковане $z$ -перетворення від функції із випереджуючим аргументом $x[(l+m)T]$ визначається як: $Z^{\varepsilon }\{x[(l+m)T]\}=z^{m}{\begin{bmatrix}X(z,\varepsilon )-\sum _{k=0}^{m-1}x[(x+\varepsilon )T]z^{-k}\end{bmatrix}}.$ Якщо $x[\varepsilon T]=x[(1+\varepsilon )T]=...=x[(m-1+\varepsilon )T]=0$ (початкові умови нульові), то $Z^{\varepsilon }\{x[(l+m)T]\}=z^{m}X(z,\varepsilon ).$
Згортання. Добуток зображень $X_{1}(z,\varepsilon )$ та $X_{2}(z,\varepsilon )$ дорівнює $z$ -перетворенню від згортання їх оригіналів $x_{1}[(l+\varepsilon )T]$ та $x_{2}[(l+\varepsilon )T]$ : $X_{1}(z,\varepsilon )X_{2}(z,\varepsilon )=Z\{\sum _{k=0}^{l}x_{1}[(k+\varepsilon )T]x_{2}(l-k+\varepsilon )T\}=Z\{\sum _{k=0}^{l}x_{2}[(k+\varepsilon )T]x_{1}[(l-k+\varepsilon )T]\}.$
Межеві значення. Початкове значення ґратчастої функції $x[lT]$ по її звичайному та модифікованому $z$ -зображенню визначається як: $x[\varepsilon T]=\lim _{z\rightarrow \infty }X(z,\varepsilon ),\quad x[0]=\lim _{z\rightarrow \infty }X(z).$ Границя $z(\infty )=\lim _{l\rightarrow \infty }x[lT]$ за умови, що вона існує, визначається як: $x(\infty )=\lim _{z\rightarrow 1}(z-1)X(z,\varepsilon )=\lim _{z\rightarrow 1}(z-1)X(z).$

Z-перетворення, як і багато інтегральних перетворень, може бути як одностороннє, так і двостороннє.

Двостороннє Z-перетворення

Двостороннє Z-перетворення X (z) дискретного часового сигналу x [n] задається як:

X(z)=Z\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}

.

де n — ціле, z — комплексне число.

z=Ae^{j\varphi }

,

де A — амплітуда, а $\varphi$ — кутова частота (у радіанах на відлік)

Одностороннє Z-перетворення

У випадках, коли x [n] визначена тільки для $n\geqslant 0$ , одностороннє Z-перетворення задається як:

X(z)=Z\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}

.

Зворотне Z-перетворення

Зворотне Z-перетворення визначається, наприклад, так:

x[n]=Z^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint \limits _{C}X(z)z^{n-1}\,dz

,

де C — контур, що охоплює область збіжності X (z). Контур повинен містити всі відрахування X (z).

Поклавши в попередній формулі $z=re^{j\varphi }$ , отримаємо еквівалентне визначення: $x[n]={\frac {r^{n}}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }X(re^{j\varphi })e^{jn\varphi }\,d\varphi .$

Таблиця деяких Z-перетворень

Позначення:

$\theta [n]$ --- функція Гевісайда.
$\delta [n]$ --- дельта-функція Дірака.

	Сигнал, $x[n]$	Z-перетворення, $X(z)$	Область збіжності
1	$\delta [n]\,$	$1\,$	$\forall z\,$
2	$\delta [n-n_{0}]\,$	${\frac {1}{z^{n_{0}}}}$	$z\neq 0\,$
3	$\theta [n]\,$	${\frac {z}{z-1}}$	$\|z\|>1\,$
4	$a^{n}\theta [n]\,$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$\|z\|>\|a\|\,$
5	$na^{n}\theta [n]\,$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$	$\|z\|>\|a\|\,$
6	$-a^{n}\theta [-n-1]\,$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$\|z\|<\|a\|\,$
7	$-na^{n}\theta [-n-1]\,$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$	$\|z\|<\|a\|\,$
8	$\cos(\omega _{0}n)\theta [n]\,$	${\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$	$\|z\|>1\,$
9	$\sin(\omega _{0}n)\theta [n]\,$	${\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$	$\|z\|>1\,$
10	$a^{n}\cos(\omega _{0}n)\theta [n]\,$	${\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$	$\|z\|>\|a\|\,$
11	$a^{n}\sin(\omega _{0}n)\theta [n]\,$	${\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$	$\|z\|>\|a\|\,$