Дотичний простір

Дотичний простір $\scriptstyle T_{x}M$ і дотичний вектор $\scriptstyle v\in T_{x}M$, подовж кривої $\scriptstyle \gamma (t)$, що проходить через точку $\scriptstyle x\in M$

Дотичний простір до гладкого многовиду $M$ в точці $x$ — сукупність дотичних векторів у цій точці, які утворюють природну структуру векторного простору.

Дотичний простір до $M$ у точці $x$ зазвичай позначають $T_{x}M$ або — коли очевидно, про який многовид йде мова — просто $T_{x}$.

Сукупність дотичних просторів у всіх точках многовиду (разом із самим многовидом) утворюють векторне розшарування, яке називається дотичне розшарування. Відповідно, кожний дотичний простір є шар дотичного розшарування.

Також як у дотичного вектора, існує модифікація поняття дотичний простір — дотичний простір у точці $p$ підмноговиду.

У найпростішому випадку, коли многовид гладко вкладений у векторний простір (що можливо завжди, згідно з Теоремою Вітні про вкладення), кожен дотичний простір можна природно ототожнити з деяким афінним підпростором охоплюючого векторного простору.

Означення

Через диференціювання в точці

Нехай $M$ — гладкий многовид. Тоді дотичним простором назвемо простір диференціювань в точці $p$. Тобто простір операторів $X$ які дають число $Xf$ для кожної гладкої функції $f:M\to \mathbb {R}$, і володіють такими властивостями:

• Адитивність: $X(f+h)=Xf+Xh$
• Правило Лейбніца: $X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot (Xh)$

Легко бачити, що на множині всіх диференціювань в точці $p$ можна ввести структуру лінійного простору:

$(X+Y)f=Xf+Yf$

$(k\cdot X)f=k\cdot (Xf).$

Через локальні координати

Нехай $M$ — гладкий многовид розмірності n, $x\in M$ і $\phi$ — деяке координатне відображення в околі точки x. Позначимо $C^{\infty }(X,x,\mathbb {R} )$ множину гладких у точці x відображень з простору X у множину дійсних чисел. Дотичним вектором в точці $x$ називається відображення:

$v:C^{\infty }(X,x,\mathbb {R} )\to \mathbb {R}$

таке що існують дійсні числа $a_{1},\ldots ,a_{n}$ з наступною властивістю. Для довільної функції $f\in C^{\infty }(X,x,\mathbb {R} ),:$

$v(f)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\frac {\partial }{\partial r_{i}}}(f\circ \phi ^{-1})|_{\phi (x)}$

де $r_{i}$ — координати простору $\mathbb {R} ^{n}.$

Визначення через криві

Нехай $M$ — гладкий многовид розмірності n, $p\in M$ і $\phi$ — деяке координатне відображення в околі точки p. Нехай маємо дві криві $\gamma _{1},\gamma _{2}:(-1,1)\to M,$ такі що $\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=p.$ Тоді $\gamma _{1},\gamma _{2}$ називаються еквівалентними, якщо ${\frac {d}{dt}}(\phi \circ \gamma _{1})(0)={\frac {d}{dt}}(\phi \circ \gamma _{2})(0).$ Множина класів еквівалентності називається дотичним простором. Ототожнивши кожен клас еквівалентності з відповідним образом ${\frac {d}{dt}}(\phi \circ \gamma )(0)$ у $\mathbb {R} ^{n}$ цю множину можна перетворити у векторний простір.

Властивості

• Дотичний простір $n$-вимірного гладкого многовиду є $n$-вимірним векторним простором.
• Для обраної локальної карти $x_{1},\dots ,x_{n}$, оператори $X_{i}f={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p)$ являють собою базис $T_{p}$, який називають голономним базисом.

Пов'язані означення

• Контактним елементом до многовиду у деякій точці називається будь-яка гіперплощина дотичного простору в цій точці.

Див. також

• Дотичний вектор
• Дотичний простір Зариського
• Кодотичний простір

Джерела

• Зорич В. А. Математический анализ. — 10-е. — М : МЦНМО, 2019. — Т. 1. — 564 с. — ISBN 978-5-4439-4029-8.(рос.)
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
• Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
• У. Рудин. Основы математического анализа — М.: Мир, 1976
• Спивак М. Математический анализ на многообразиях, — М.: Мир. 1968.