Кардіоїда

Побудова кардіоїди

Кардіоїда (грец. καρδία — серце, грец. εἶδος — вид) — пласка лінія, яка описується фіксованою точкою кола, що котиться по нерухомому колу з таким же радіусом. Отримала свою назву за схожість своїх обрисів зі стилізованим зображенням серця.

Кардіоїда є окремим випадком равлика Паскаля, епіциклоіди і синусоїдальної спіралі.

Рівняння

• У прямокутних координатах:

  $(x^{2}+y^{2})^{2}+2ax(x^{2}+y^{2})-a^{2}y^{2}\,=\,0$

• У прямокутних координатах (параметричний запис):

$\left\{{\begin{aligned}&x=2a\cos t(1+\cos t),\\&y=2a\sin t(1+\cos t)\\\end{aligned}}\right.$

• У полярних координатах:

  $r=a(1-\cos \varphi )$

Властивості

• Кардіоїда — алгебраїчна крива четвертого порядку.
• Кардіоїда має один касп.
• Довжина дуги одного витка кардіоїди, що задана формулою

  $r=a(1-\cos \varphi )$,

дорівнює:

$s={8a}$.

• Площа, обмежена кардіоїдою, що задана формулою

  $r=a(1-\cos \varphi )$,

дорівнює:

$S=6\pi a^{2}$.

Історія

Кардіоїда вперше зустрічається в працях французького вченого Луї Карре (Louis Carrè, 1705). Назву кривій дав Джованні Сальвеміні ді Кастіллоне (Giovanni Salvemini di Castiglione, згадується також як Johann Francesco Melchiore Salvemini Castillon) 1741 року.

«Випрямлення», тобто обчислення довжини кривої, виконав Ла Ір (Philippe de La Hire), який відкрив криву незалежно 1708 року. Окрім того, незалежно описав кардіоїду голландський математик Й. Коерсма (J . Koersma, 1741). Надалі до кривої виявляли цікавість багато видатних математиків XVIII—XIX століть.

Література

• Савелов А. А. Плоские кривые. М., 1960.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)