Квадратична функція однієї змінної

У математиці, квадратична функція — це поліноміальна функція з старшим членом другого порядку, тобто функція форми $f(x)=ax^{2}+bx+c,\ a\neq 0$. Графіком $\Gamma _{f}$ квадратичної функції служить парабола з віссю, паралельною осі $Oy$. При $b=c=0$ вершина параболи опиняється в точці $(0,0)$.

$f(x)=x^{2}-x-2\,\!$

Нулі функції

Нулі квадратичної функції

$f(x)=ax^{2}+bx+c\,$

це значення x такі, що f(x) = 0.

Коли коефіцієнти a, b і c, — дійсні чи комплексні, тоді корені

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}},$

де дискримінант визначений як

$\Delta =b^{2}-4ac\,.$

Властивості

$f(x)=ax^{2},\!$$a=\{0.1,0.3,1,3\}\!$

Загальні властивості

1. Область визначення квадратичної функції - вся числова пряма.
2. При $b\neq 0$ функція не є парною і не є непарною. При $b=0$ квадратична функція - парна.
3. Квадратична функція неперервна і диференційована на всій області визначення.
4. Функція має єдину критичну точку $x=-{\frac {b}{2a}}$.
5. Область зміни функції: при $a>0$ - безліч значень функції $[-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}};+\infty )$; при $a<0$ - безліч значень функції $(-\infty ;-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}]$.

$f(x)=x^{2}+bx,\!$ $b=\{1,2,3,4\}\!$

$f(x)=x^{2}+bx,\!$ $b=\{-1,-2,-3,-4\}\!$

Вершина

У загальному випадку вершина параболи лежить в точці $M_{0}(x_{0};y_{0});x_{0}=-{\frac {b}{2a}};y_{0}=f(x_{0})=c-{\frac {b^{2}}{4a}}$. Якщо $a>0$ , То гілки параболи спрямовані вгору, якщо $a<0$ , То гілки параболи спрямовані вниз.

Екстремуми і перегини

Якщо $a>0$, то в точці $x=-{\frac {b}{2a}}$ функція має мінімум. При $x<-{\frac {b}{2a}}$ функція монотонно спадає, при $x>-{\frac {b}{2a}}$ монотонно зростає.

1. Якщо $a<0$, то в точці $x=-{\frac {b}{2a}}$ функція має максимум. При $\displaystyle x<-{\frac {b}{2a}}$ функція монотонно зростає, при $x>-{\frac {b}{2a}}$ монотонно спадає.
2. Точка графіка квадратичної функції з абсцисою $x=-{\frac {b}{2a}}$ і ординатою $y=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}$ називається вершиною параболи.

Графік

1. Графік квадратичної функції перетинається з віссю $\displaystyle Oy$ в точці $\displaystyle y=c$. У випадку, якщо $\displaystyle b^{2}-4ac>0$, графік квадратичної функції перетинає вісь $Ox$ в двох точках (різні дійсні корені квадратного рівняння); якщо $\displaystyle b^{2}-4ac=0$(квадратне рівняння має один корінь кратності 2), графік квадратичної функції торкається осі 0x в точці $\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}$; якщо $\displaystyle b^{2}-4ac<0$, перетину з віссю $Ox$ немає.
2. З запису квадратичної функції також випливає, що графік функції симетричний відносно прямої $x=-{\frac {b}{2a}}$ - образу осі ординат при паралельному перенесенні $r=-{\frac {b}{2a}};0)$.
3. Графік функції $\displaystyle F(x)=ax^{2}+bx+c$ (або $f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}$) може бути отриманий з графіка функції $\displaystyle f(x)=x^{2}$ наступними перетвореннями :
   1. паралельним перенесенням $r=(-{\frac {b}{2a}};0)$;
   2. стисненням (або розтягуванням) до осі абсцис в а разів;
   3. паралельним перенесенням $r=(0;-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}})$.

Похідна

$y^{\prime }=\left(x^{2}\right)^{\prime }=2x$.

Первісна

$\int x^{2}dx={\frac {1}{3}}x^{3}+C$

Див. також

• Квадратичне програмування

Посилання

• Функція квадратна // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.