Користувач:Knu mechmat/Теорема Фубіні

Теорема Фубіні використовується в математичному аналізі для обчислення подвійного інтегралу за допомогою повторного інтегралу.

Формулювання

Нехай $(X,G_{X},\mu _{X})$ та $(Y,G_{Y},\mu _{Y})$ вимірні простори з $\sigma$-кінцевими повними мірами $\mu _{X}$ та $\mu _{Y}$, визначеними відповідно на $\sigma$-алгебрах $G_{X}$ та $G_{Y}$. Якщо функція $f(x,y)$ інтегрована на добутку $X\times Y$ просторів $X$ та $Y$ відносно добутку $\mu =\mu _{X}\times \mu _{Y}$ мір $\mu _{X}$ та $\mu _{Y}$, тоді майже для всіх $y\in Y$ функція $f(x,y)$ змінної $x$ інтегрована на просторі $X$ щодо міри $\mu _{X}$, функція $g(y)=\int _{X}f(x,y)\,d\mu _{x}$ інтегрована на просторі $Y$ щодо міри $\mu _{Y}$, і має місце рівність

$\int _{X\times Y}f(x,y)\,d\mu =\int _{Y}\,d\mu _{Y}\int _{X}f(x,y)\,d\mu _{X}.$

Теорема Фубіні справедлива, зокрема, для випадку, коли $\mu _{X}$, $\mu _{Y}$ та $\mu$ - міри Лебега відповідно у евклідових просторах $R^{m}$, $R^{n}$ та $R^{m+n}$ відповідно ($m$ та $n$ натуральні), $X=R^{m}$, $Y=R^{n}$, $X\times Y=R^{m}\times R^{n}=R^{m+n}$, $f=f(x,y)$ - вимірна по Лебегу функція на просторі $R^{m+n}$, $x\in R^{m}$, $y\in R^{n}$. У цих припущеннях теорема Фубіні має вигляд

$\iint _{R^{m+n}}f(x,y)\,d(x,y)=\int _{R^{n}}dy\int _{R^{m}}f(x,y)\,dx.$

Для того, щоб у випадку функції $f$, визначеної на довільній вимірній по Лебегу множині $E\subset R^{m+n}$, виразити кратний інтеграл через повторний, потрібно покласти функцію $f$ нулем на весь простір $R^{m+n}$ і застосувати формулу.

Історія

Особливий випадок теореми Фубіні для безперервних функцій на добуток замкнутих обмежених підмножин векторних просторів було відомо Ейлеру у 18-му столітті. Лебег (1904) поширив це на обмежені вимірні функції на добутку відрізків. у 1906 році Леві висловив гіпотезу, що теорема може бути поширена на інтегровані, а не на обмежені функції, і це було доведено Гвідо Фубіні у 1907 році.

Література

• Теорема Фубіні на encyclopediaofmath.org