Круг

Круг

Круг, кружа́ло або диск (від лат. discus, що походить від грец. δίσκος — «тарілка») — геометрична фігура, обмежена колом. Іншими словами, круг — це множина, яка складається з усіх точок площини, відстань від яких до даної точки (центр круга) не перевищує заданої відстані (радіуса). Коло є межею круга.

Круг називається замкненим або відкритим в залежності від того чи містить він коло, яке його обмежує. В декартових координатах, відкритий круг з центром $(a,b)$ та радіусу R задається формулою

$D=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}<R^{2}\}$

Закритий круг задається нестрогою нерівністю

${\overline {D}}=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\leqslant R^{2}\}.$

Куля є узагальненням поняття круга на метричний простір.

Інколи замість терміну круг використовують термін диск.

Термінологія

Центр, радіус, хорда і діаметр кола є центром, радіусом, хордою та діаметром відповідного круга.

Площею круга називається площа фігури обмеженої колом. Площа круга обчислюється за формулою:

$S=\pi r^{2}\$, де $\pi \approx 3{,}141592654$ — константа.

Периметром круга називають довжину кола, що його обмежує:

$L=2\pi r.$

Властивості

• Круг — центрально-симетрична фігура.
• При обертанні площини відносно центра круг переходить сам у себе.
• Круг є опуклою фігурою.
• Площа сектора дорівнює $S={\frac {\alpha R^{2}}{2}}$, де $\alpha$ — кутова величина дуги в радіанах, R — радіус.
• (Ізопериметрична нерівність) Круг є фігурою, що має найбільшу площу при заданому периметрі. Або, що те ж саме, що має найменший периметр при заданій площі.
• Площу круга можна визначити, як границю послідовності площ правильних багатокутників, вписаних у відповідне коло, коли довжини сторін наближаються до нуля.

Круг в метричному просторі

Поняття кола дослівно узагальнюється на випадок довільних метричних просторів. На відміну від випадку евклідових просторів, при довільних метриках круги метричного простору можуть бути дуже химерно влаштовані — зокрема, у разі дискретної метрики можна побудувати приклад, коли відкритий та замкнений круги певного радіуса збігаються. Однак деякі властивості все ж зберігаються, а саме: опуклість та наявність центральної симетрії.

Наприклад, якщо розглянути вуличну метрику, яка на евклідовій площині задається співвідношенням:

$\rho ((x_{1},y_{1});(x_{2},y_{2}))=|x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|$,

то одиничним колом з центром в початку координат $(0,0)$ буде квадрат з вершинами $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$.

В цій метриці, формула круга з центром в $(0,0)$ радіусу R буде наступна:

$\rho ((0,0);(x,y))=|x|+|y|<R.$

Див. також

• Коло
• Куля
• Число пі