Локон Аньєзі

Локон Аньєзі

Локон Аньєзі — плоска крива третього порядку, геометричне місце точок $M$, для яких виконується співвідношення $\textstyle {\frac {BM}{BC}}={\frac {OA}{OB}}$,

де $OA$ — діаметр кола, $BC$ — напівхорда цього кола, перпендикулярна до $OA$.

Свою назву "локон Аньєзі" крива отримала на честь італійської математикині Марії Гаетани Аньєзі, яка досліджувала цю криву.

Рівняння

$O=(0,0)$, $A=(0,a)$

• У декартовій системі координат:

$y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}$

Виведення  

Координати точки $M$, що лежить на локоні — $x=BM$, $y=OB$. $OA=a$ і за визначенням будуємо пропорцію

$\textstyle {\frac {x}{BC}}={\frac {a}{y}}$

Звідси

$\textstyle BC={\frac {xy}{a}}$

З іншого боку $BC$ може бути знайдений з рівняння кола:

$\textstyle \left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}+x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}$

Нам відомий $y=OB$, значить виражаємо $x^{2}$:

$\textstyle x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}$

Прирівнюємо обидва вирази для $BC$:

$\textstyle {\frac {x^{2}y^{2}}{a^{2}}}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}$

Зводимо в квадрат, переносимо та виносимо $y^{2}$ за дужки:

$\textstyle \left({\frac {x^{2}}{a^{2}}}+1\right)y^{2}=ay$

Виражаємо y (y=0 не підходить за визначенням):

$\textstyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}$

• Параметричне рівняння:

${\begin{cases}x=a\,\operatorname {tg} \,\varphi \\y=a\cos ^{2}\varphi \end{cases}}$, де параметр $\varphi$ — кут між $OA$ і $OC$ , приймає значення: $\varphi \in (-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}})$

Виведення  

Координати точки $M$ однозначно визначаються кутом $\varphi$ між $OB$ і $OC$. Якщо $OB=y$, а $BM=x$, тоді за визначенням локону можна скласти пропорцію

$\textstyle {\frac {OA}{y}}={\frac {x}{BC}}$

$OA$ за визначенням дорівнює $a$. З трикутника $OBC$: $BC=y\,\operatorname {tg} \,\varphi$, значить

$\textstyle {\frac {a}{y}}={\frac {x}{y\,\operatorname {tg} \,\varphi }}$

звідси $x=a\,\operatorname {tg} \,\varphi$. Цю формулу підставляємо в рівняння кривої:

$\textstyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+a^{2}\,\operatorname {tg} ^{2}\,\varphi }}$

$\textstyle y={\frac {a}{1+\,\operatorname {tg} ^{2}\,\varphi }}$

Використавши тотожність, отримаємо

$y=a\cos ^{2}\varphi$

Раціональна параметризація для кривої має вигляд:

${\begin{cases}x=a\cdot t\\y={\frac {a}{1+t^{2}}}\end{cases}}$ ; параметр t приймає значення: $t\in (-\infty ;+\infty )$

• У полярній системі рівняння локону досить складне: щоб його знайти, треба розв'язати кубічне рівняння:

$\textstyle \rho \sin {\varphi }={\frac {a^{3}}{a^{2}+\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi }}$

$\textstyle \rho ^{3}(\cos ^{2}\varphi \sin \varphi )+\rho (a^{2}\sin \varphi )-a^{3}=0$

Однак отримана формула буде занадто складною і невкладистою, щоб мати якесь практичне значення.

Властивості

• Локон Аньєзі — крива третього порядку.
• Діаметр $OA$ єдина вісь симетрії кривої. Вісь Ох — її асимптота.
• Крива має один максимум — $A(0;a)$ і дві точки перегину — $\textstyle P_{1,2}\left(\pm {\frac {a}{\sqrt {3}}};{\frac {3a}{4}}\right)$ . Вони лежать на прямих $y=\pm {\sqrt {3}}\cdot x$ (кут $\varphi =\pm {\frac {\pi }{6}}$) ^{:стор.238}

• В околі вершини $A$ локон наближається до кола діаметром $OA$. У точці $A$ відбувається дотик, і крива збігається з колом. Це показує значення радіуса кривини в точці $A$: $\textstyle R_{A}={\frac {a}{2}}$.
• Площа під графіком (між кривою і асимптотою): $S=\pi a^{2}$. ^{:стор.238} Вона обчислюється інтегруванням рівняння по всій числовій прямій $\textstyle \mathbb {R}$ , і дорівнює площі визначального круга, помноженій на 4.

Центр мас фігури, обмеженої кривою та її асимптотою лежить на осі симетріі, на відстані ${\frac {a}{4}}$ від асимптоти, тобто в точці з координатами $\left(0;{\frac {a}{4}}\right)$ ^{:стор.238}

Найбільший за площею прямокутник, який можна вписати між кривою та її асимптотою, має висоту, що дорівнює радіусу визначального кола, і ширину, що дорівнює подвоєному діаметру кола. Його площа: $S=a^{2}$.

• Об'єм тіла, утвореного обертанням кривої навколо своєї асимптоти (осі $OX$): $\textstyle V={\frac {\pi ^{2}}{2}}a^{3}$. ^{:стор.238} . Цей об'єм вдвічі більше за об'єм тора, утвореного при обертанні визначального кола локона навколо цієї ж прямої.

Побудова

Побудова локону Аньєзі

1. Будуємо коло діаметром $OA=a$ і через нижню точку кола О проводимо дотичну Ox.
2. Через верхню точку кола A (діаметрально протилежну до О) проводимо пряму, паралельну до Ох.
3. Через точку О проводимо січну ОL, яка перетинає коло в точці C і верхню пряму в точці L.
4. Через точку C проводимо пряму, паралельну до Ох, а через L проводимо пряму, паралельну до діаметра ОA. Ці дві прямі перетинаються в точці M, яка належить локону Аньєзі.

Споріднена крива

Крива, що носить назву "псевдо-локон" утворюється шляхом подвоєння ординат локона Аньєзі. Цю криву досліджував Дж. Грегорі в 1658 і використовував Готфрід Лейбніц у 1674 році, виводячи вираз: ^{:стор.238}

${\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+...$

Див. також

• Крива
• Кубика
• Розподіл Коші

Посилання

• Weisstein, Eric W. Witch of Agnesi(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Witch of Agnesi [Архівовано 8 грудня 2011 у Wayback Machine.] by Chris Boucher based on work by Eric W. Weisstein, The Wolfram Demonstrations Project.
• The Witch of Agnesi [Архівовано 7 червня 2011 у Wayback Machine.] - Mathforum.org Java applet
• Witch of Agnesi Encyclopedia of Mathematics.
• WITCH OF AGNESI - MATHCURVE.COM
• MacTutor History of Mathematics Archive. "Witch of Agnesi."
• Xah Lee. Witch of Agnesi