Многочлен Ергарта

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Многочленом Ергарта для заданого багатогранника в багатовимірному просторі називається многочлен, значення якого в будь-якій цілій точці збігається з кількістю цілих точок простору (взагалі кажучи, точок будь-якої ґратки), що містяться всередині даного багатогранника, збільшеного в разів.

Обсяг самого багатогранника (з коефіцієнтом гомотетії ) дорівнює старшому коефіцієнту многочлена Ергарта, що можна розглядати як варіант багатовимірного узагальнення теореми Піка.

Названі на честь Юджена Ергарта[en], який вивчав їх у 1960-х роках.

Визначення

[ред. | ред. код]

Нехай  — багатогранник з цілими вершинами, і  — його гомотетія з цілим коефіцієнтом . Позначимо через кількість цілих точок . Можна довести, що число виражається як многочлен від ; цей многочлен називають многочленом Ергарта.

Приклади

[ред. | ред. код]
  • для одиничного цілого -вимірного куба .

Властивості

[ред. | ред. код]
  • (Взаємність Ергарта — Макдональда) Число внутрішніх цілих точок в дорівнює
де d — розмірність P.
  • Будь-яка валюація на цілих багатогранниках, інваріантна відносно цілих зсувів і , виражається як лінійна комбінація коефіцієнтів многочлена Ергарта.[1]
  • Для будь-якого -вимірного багатогранника , три коефіцієнти многочлена Ергарта мають просту інтерпретацію:
    • вільний член многочлена Ергарта дорівнює 1;
    • головний коефіцієнт при дорівнює об'єму багатогранника;
    • коефіцієнт при дорівнює половині суми відношень площ граней до визначника ґратки, одержуваної перетином цілочилових точок із продовженням грані.
  • Зокрема, при многочлен Ергарта багатокутника дорівнює
де  — площа багатокутника, а  — кількість цілочислових точок на його кордоні. Підставивши , отримаємо формулу Піка.

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Betke, Ulrich; Kneser, Martin (1985) Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen, J. Reine Angew. Math. 358, 202—208.

Посилання

[ред. | ред. код]
  • Weisstein, Eric W. Ehrhart Polynomial(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  • Г. А. Мерзон. Алгебра, геометрия и анализ сумм степеней последовательных чисел. — Сборник «Математическое просвещение». Третья серия. — 2017. — Вип. 21. — С. 104—118.