Напівмартингал

В теорії імовірності дійснозначний випадковий процес називається напівмарнтингалом, якщо його можна подати у вигляді суми локального мартингалу і адаптованого процесу зі скінченною варіацією. Напівмартингали є добрими інтеграторами, власне напівмартингали формують найбільший клас випадкових процесів, відносно яких визначений інтеграл Іто. Напівмартингали формують досить широкий клас процесів, зокрема всі неперервно-диференційовні процеси, Вінерівський процес і Пуасонівський процес належать до напівмартингалів. Супермартингали і субмартингали утворюють підклас напівмартингалів.

Означення

Дійснозначний випадковий процес X визначений на ймовірнісному просторі з фільтрацією (Ω,F,(F_t)_t ≥ 0,P) називається напівмартингалом, якщо його можна подати у вигляді

$X_{t}=M_{t}+A_{t}$

де M — локальний мартингал, а A — неперервний справа з визначеною лівосторонньою границею (НПЛГ, фр. càdlàg) адаптований процес з локально обмеженою варіацією.

Процес X = (X¹,…,Xⁿ) зі значеннями в Rⁿ є напівмартингалом в Rⁿ, якщо кожна його компонента Xⁱ напівмартингал.

Приклади

• Адаптований і неперервно-диференційовний процес має скінченну варіацію, а отже, є напівмартингалом.
• Вінерівський процес напівмартингал.
• Всі НПЛГ мартингали, субмартингали і супермартингали є напівмартингалами.
• Процес Іто, такий що задовольняє стохастичне диференціальне рівняння вигляду dX = σdW + μdt є напівмартингалом. Тут, W Вінерівський процес і σ, μ адаптовані процеси.
• Кожен процес Леві напівмартингал.

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. — 2-е. — Москва : Наука, 1977. — 567 с.(рос.)