Нерівність Ерміта — Адамара

Ілюстрація нерівності Ерміта — Адамара.

У математичному аналізі нерівність Ерміта — Адамара, встановлює межі інтегралу опуклої на інтервалі функції:

$f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\frac {f(a)+f(b)}{2}}.$

Нерівності названі на честь Шарля Ерміта і Жака Адамара.

Попри те, що нерівності були відомими досить давно і для них є досить багато застосувань, вони не є настільки добре відомі, як деякі інші властивості опуклих функцій, зокрема нерівність Єнсена.

Доведення

Оскільки функція $f$ є опуклою на інтервалі, вона є неперервною і диференційовною справа і зліва у кожній точці інтервалу. Позначимо ліві і праві похідні $f^{-}$ і $f^{+}$ відповідно. Для кожного $x_{0}\in [a,b]$, введемо функцію

$t(x)=f(x_{0})+c(x-x_{0}),\ c\in [f^{-}(x_{0}),f^{+}(x_{0})].$

для якої

$\forall x\in [a,b],t(x)\leqslant f(x),\ \ \land \ \ t(x)=f(x)\Leftrightarrow x=x_{0}.$

Зокрема для $x_{0}={\frac {a+b}{2}}$ :

$\forall x\in [a,b],f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+c\left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)\leqslant f(x),\ c\in \left[f^{-}\left({\frac {a+b}{2}}\right),f^{+}\left({\frac {a+b}{2}}\right)\right].$

Навпаки, зважаючи на опуклість f:

$\forall x\in [a,b],f(x)\leqslant f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a).$

Проінтегрувавши отримуємо:

$\int _{a}^{b}\left[f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+c\left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)\right]\,\mathrm {d} x=(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right),\ \int _{a}^{b}\left[f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)\right]\,\mathrm {d} x=(b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}.$

Застосування

• Формула Стірлінга. Розглянемо функцію $x\mapsto f(x)={\frac {1}{1+x}}\;(x\geq 0)$. Вона є опуклою оскільки $f''(x)={\frac {2}{(1+x)^{3}}}>0$. Використавши нерівність Ерміта — Адамара на інтервалі $[0,x]$ отримуємо

$x-{\frac {x^{2}}{2+x}}<\ln(1+x)<x-{\frac {x^{2}}{2+2x}}$  .

Звідси для довільного натурального числа $n>0$

${\frac {1}{n+{\tfrac {1}{2}}}}<\ln(n+1)-\ln n<{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}\right)$ або $1<(n+{\tfrac {1}{2}})\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)<1+{\frac {1}{4n(n+1)}}$.

Ці нерівності можна використати для доведення формули Стірлінга. Для цього зручніше переписати останню нерівність пропотенціювавши її$e<\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n+{\tfrac {1}{2}}}<e^{1+{\frac {1}{4n(n+1)}}}$. Тоді формула Стірлінга може бути отримана, якщо ввести послідовність $a_{n}={\frac {n!e^{n}}{n^{n+1/2}}}$. Оскільки з означень ${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}={\frac {\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n+{\tfrac {1}{2}}}}{e}}$ , то з отриманих вище нерівностей $1<{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}<e^{\frac {1}{4n(n+1)}}={\frac {e^{\frac {1}{4n}}}{e^{\frac {1}{4(n+1)}}}}$. Звідси відразу отримуємо, що послідовність $a_{n}$ є спадною і обмеженою знизу, а послідовність $b_{n}=a_{n}e^{-{\frac {1}{4n}}}$ є зростаючою і обмеженою зверху. Оскільки $\lim _{n\to \infty }e^{-{\frac {1}{4n}}}=1$ то $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=a$. Тому для кожного натурального числа знайдеться таке $0<\theta <1$, що $a_{n}=ae^{\frac {\theta }{4n}}$. Повертаючись до означення послідовності отримуємо $n!=a{\sqrt {n}}e^{\frac {\theta }{4n}}$. За допомогою, наприклад, формули Валліса можна знайти $a={\sqrt {2\pi }}$ , що завершить доведення.

• Нерівності між середніми. Розглянемо функцію $x\mapsto f(x)=e^{x}$. Вона є строго опуклою на всій множині дійсних чисел і тому для усіх $-\infty <a<b<\infty$ згідно з нерівністю Ерміта — Адамара

$e^{\frac {a+b}{2}}<{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}e^{x}\,dx={\frac {e^{b}-e^{a}}{b-a}}<{\frac {e^{a}+e^{b}}{2}}$.

Якщо взяти $a=\ln x,\;b=\ln y$ для додатних $x<y$, то отримаємо:

${\sqrt {xy}}<{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}e^{x}\,dx={\frac {y-x}{\ln y-\ln x}}<{\frac {x+y}{2}}$,

тобто нерівності між геометричним, логарифмічним і арифметичним середніми.

• Тригонометричні нерівності. Розглянемо функцію $x\mapsto f(x)=\sin x,\,x\in [0,\pi ]$. На цьому проміжку функція є вгнутою. Тому згідно з нерівністю Ерміта — Адамара (в якій для вгнутих функцій лише треба змінити напрямок нерівностей) для $0<a<b<\pi$ :

$\sin \left({\frac {a+b}{2}}\right)>{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\sin x\,dx={\frac {\cos a-\cos b}{b-a}}>{\frac {\sin a+\sin b}{2}}$.

Нехай тепер $0<a<b<\pi /2$. Тоді $\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}>0$.

Використаємо тригонометричні тотожності $\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$ і $\sin \alpha +\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$.

У першій нерівності вище після використання тотожності для різниці косинусів і скорочення отримаємо ${\frac {b-a}{2}}>\sin \left({\frac {b-a}{2}}\right)$.

У другій нерівності після використання тотожностей для суми синусів і різниці косинусів і скорочень отримаємо ${\frac {b-a}{2}}<\tan \left({\frac {b-a}{2}}\right)$. Позначивши $x=b-a$, отримаємо відомі нерівності $\sin x<x<\tan x$ для всіх $0<x<\pi /2$.

Оцінка точності нерівностей

• Припустимо, що функція $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ є опуклою і двічі диференційовною в усіх точках інтервалу і також $m\leqslant f''(x)\leqslant M$ для всіх $x\in [a,b]$. Тоді функції $f(x)-mx^{2}/2$ і $Mx^{2}/2-f(x)$ теж є опуклими в цьому інтервалі. Застосування до цих функцій нерівностей Ерміта — Адамара дає оцінки точності

$m{\frac {(b-a)^{2}}{24}}\leqslant {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx-f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leqslant M{\frac {(b-a)^{2}}{24}}$

і

$m{\frac {(b-a)^{2}}{12}}\leqslant {\frac {f(a)+f(b)}{2}}-{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leqslant M{\frac {(b-a)^{2}}{12}}.$

• Нехай $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ — ліпшицева на інтервалі функція і $M=\sup \left\{\left|{\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}\right|:x,y\in [a,b],\,x\neq y\right\}$ — константа Ліпшиця цієї функції. Тоді

$\left|f(x)-{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leqslant M\left({\frac {1}{4}}+\left({\frac {x-(a+b)/2}{b-a}}\right)^{2}\right)(b-a)\;\;$ — нерівність Островського,

$\left|{\frac {f(a)+f(b)}{2}}-{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leqslant {\frac {M(b-a)}{4}}+{\frac {(f(a)-f(b))^{2}}{4M(b-a)}}$ — нерівність Ієнґара.

Див. також

• Опукла функція

Література

• Niculescu, Constantin P.; Persson, Lars-Erik (2005). Convex Functions and their Applications: A Contemporary Approach. Springer-Verlag. ISBN 0-387-24300-3. Zbl 1100.26002.