Оператор (математика)

Оператор
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика

Опера́тор — в математиці — закон f (правило), за яким кожному елементу х множини Х (область визначення) ставиться у відповідність певний елемент y множини Y (області значень).

Еквівалентне смислове значення мають терміни: відображення, перетворення, функція. Тобто оператор — відображення з однієї множини в іншу (або і цю ж саму) які наділені певною структурою (алгебраїчними операціями, топологією, відношенням порядку).

Наприклад, нехай є дві довільні множини $X$ та $Y.$ Якщо кожному $x\in X$ відповідає єдиний елемент $y\in Y,$ то говорять, що на $X$ заданий оператор $y=\Pi (x).$ Множина $X$ називається його областю визначення, а множина $Y$ - областю значень.

Найважливішим класом операторів є лінійні оператори в лінійних нормованих просторах.

Нехай для елементів множин $X$ та $Y$ визначені операції добутку елементів цих множин на комплексні числа й додавання цих елементів між собою. Оператор $L(x)$ називається лінійним, якщо для усяких елементів $x_{1},x_{2}\in X$

$L(x_{1}+x_{2})=L(x_{1})+L(x_{2})$

та для будь-якого $x\in X$ й будь-якої константи $C$

$L(Cx)=CL(x).$

У багатьох питаннях фізики, математики важливу роль відіграють диференціальні та інтегральні оператори. Наприклад, кожній неперервній функції $f(t)$ на відрізку $[a,b]$ можна поставити у відповідність інтеграл $\int _{a}^{t}f(t)\,dt.$ Областю визначення цього оператора буде сукупність неперервних на $[a,b]$ функцій, а областю значень - сукупність неперервно диференційовуваних на $[a,b]$ функцій. Добре відомим оператором є оператор диференціювання, який функції $f(t)$, визначеній на інтервалі $(a,b)$, ставить у відповідність її похідну. Цей оператор визначений вже не для усіх неперервних на $(a,b)$ функцій, а лише для диференційовуваних функцій.

Оператор зсуву ставить у відповідність функції $f(t)$, заданій на інтервалі $(a,b)$, функцію $f(z),\,\,z=t-\tau ,$ визначену на інтервалі $(a-\tau ,b-\tau ).$

Оператор Лапласа у відповідність комплекснозначній функції дійсної змінної $f(t)$ ставить функцію $F(p)=\int _{0}^{\infty }f(t)\exp(-pt)\,dt$ від комплексної змінної $p.$

Див. також

• Функція
• Оператор (фізика)

Джерела

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)