Оператор сліду

Функція, визначена на прямокутнику (вгорі — червоний колір) та її слід (червоний внизу)

Оператор сліду — розширення поняття звуження функції на границю області для класичних функцій на випадок класів функцій із просторів Соболєва.

Якщо $\Omega$ — область в евклідовому просторі $\mathbb {R} ^{n}$ і функція $U\in C({\bar {\Omega }})$, то $U$ приймає значення на границі $\partial \Omega$ , яке позначається $U|_{d\Omega }$. Виникає питання: чи можна визначити коректно значення на границі $\partial \Omega$ для довільної функції $U\in W^{1,p}(\Omega )$ (така функція не є неперервною та визначається з точністю до міри нуль, а міра Лебега множини $\partial \Omega$ дорівнює нулю).

Теорема

Нехай $\Omega$ — обмежена область і $\partial \Omega$ є $C^{1};p\in [1,\infty )$. Тоді існує такий лінійний оператор 

$T:W^{1,p}(\Omega )\mapsto L^{p}(\partial \Omega )$, що:

    1)$T_{U}=U|_{d\Omega }$, якщо $U\in W^{1,p}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})$;
    2)$\exists C>0\forall U\in W^{1,p}(\Omega ):\|T_{U}\|_{L^{p}(\partial \Omega )}\leqslant C\|U\|_{W^{1,p}(\Omega )}$.

Означення

Оператор $T$ визначений у теоремі, називається оператором сліду, а $T_{U}$ — слідом функції на границі $\partial \Omega$.

Доведення

1. Припустимо спочатку, що $U\in C^{1}(\Omega )$ і границя області $\Omega$ є плоскою в деякому околі точки $x^{0}$, тобто існує таке число $r>0$, що $B_{r}(x^{0})\cap ({\bar {\Omega }})=B_{r}(x^{0})\cap \{x:x_{n}\geqslant 0\}=:B_{r}^{+}$.

Позначимо $B_{r}^{-}:=B_{r}(x^{0})\cap \{x:x_{n}\leqslant 0\}.$

Виберемо функцію $\zeta \in C_{0}^{\infty }(B_{r}(x^{0}))$ таку, що $\zeta \geqslant 0$ на $B_{r}(x^{0})$ і $\zeta \equiv 1$ на $B_{r/2}(x^{0})$. Позначимо $\Gamma :=B_{r/2}(x^{0})\cap \{x:x_{n}=0\}$ i $x^{\prime }=(x_{1},...,x_{n-1})\in \mathbb {R} ^{n-1}=\{x_{n}=0\}$. Застосовуючи нерівність Юнга, виводимо

     $\int \limits _{\Gamma }|U|^{p}~dx^{\prime }\leqslant \int \limits _{\{x_{n}=0\}}\zeta |U|^{p}~dx^{\prime }=-\int \limits _{B_{r}^{+}}\partial x_{n}(\zeta |U|^{p})dx=-\int \limits _{B_{r}^{+}}(|U|^{p}\partial x_{n}\zeta +\zeta p|U|^{p-1}\operatorname {sgn}(U)\partial x_{n}U)dx\leqslant C\int \limits _{B_{r}^{+}}(|U|^{p}+\sum _{i=1}^{n}|\partial x_{i}U|^{p})dx\leqslant C\|U\|_{W^{1,p}(B_{r}^{+})}^{p}$   (*)

2. Якщо межа не є плоскою в околі $B_{r}(x^{0})$ точки $x^{0}\in \partial \Omega$, то розпрямляючи межу за допомогою вектор-відображення $F:B_{r}(x^{0})\mapsto \mathbb {R} ^{n}$ i застосувавши (*) виводимо нерівність

     $\int \limits _{\Gamma }|U|^{p}d\sigma _{x}\leqslant C\|U\|_{W^{1,p}(\Omega )}^{p}$

де $\Gamma =\partial \Omega \cap B_{r/2}(x^{0})$.

3.Оскільки $\partial \Omega$ — компакт, то існує скінченне число точок $x_{i}^{0}\in \partial \Omega ,i=1,...N$ і відкритих множин $\Gamma _{i}$ , які містять $x_{i}^{0}$ і

$\partial \Omega \subset \bigcup _{i=1}^{N}\Gamma _{i}$ та $\|U\|_{L^{p}(\Gamma _{i})}^{p}\leqslant C_{i}\|U\|_{W^{1,p}(\Omega )}^{p}$. Підсумовуючи останні нерівності за $i=1,...N$ отримаємо нерівність

     $\|U\|_{L^{p}(\partial \Omega )}\leqslant C_{i}\|U\|_{W^{1,p}(\Omega )}$

Для довільної функції $U\in C^{1}(\Omega )$ визначимо оператор $T_{U}:=U|_{\partial \Omega }$. Очевидно, що він є лінійним і

     $\|T_{U}\|_{L^{p}(\partial \Omega )}\leqslant C\|U\|_{W^{1,p}(\Omega )}$  (**)

4. Тепер розглянемо довільну функцію $U\in W^{1,p}(\Omega )$. Існує послідовність $\{U_{m}\}_{m=1}^{\infty }\subset C^{\infty }({\bar {\Omega }})$ така, що

$U_{m}\longrightarrow U$ в $W^{1,p}(\Omega )$ при $m\longrightarrow +\infty$

Для кожної функції $U_{m}$ визначена функція $T_{U_{m}}\in L^{p}(\partial \Omega )$ і має місце нерівність (**). Тоді

     $\|T_{U_{m}}-T_{U_{k}}\|_{L^{p}(\partial \Omega )}\leqslant C\|U_{m}-U_{k}\|_{W^{1,p}(\Omega )}$.

Отже, $\{T_{U_{m}}\}_{m=1}^{\infty }$ — фундаментальна послідовність у $L^{p}(\partial \Omega )$. Границею цієї послідовності позначимо через $T_{U}$, тобто $T_{U}:=\lim _{m\mapsto \infty }T_{U_{m}}$. Очевидно, що дана границя не залежить від вибору апроксимуючої послідовності. Перейшовши до границі в нерівності

$\|T_{U_{m}}\|_{L^{p}(\partial \Omega )}\leqslant C\|U_{m}\|_{W^{1,p}(\Omega )}$ при $m\longrightarrow \infty$, отримаємо

    $\|T_{U}\|_{{L^{p}}(\partial \Omega )}\leqslant C\|U\|_{W^{1,p}(\Omega )}$.   $\Box$

Див. також

• Звуження функції
• Простір Соболєва

Література

 Мельник Т.А, Креневич А.П. Теорія просторів Соболєва та узагальнені розв’язки крайових задач: підручник – К.: ВПЦ "Київський Університет", 2017.