Орисфера

Спряжені орисфери в моделі Пуанкаре.

У фінслеровій геометрії, орисфера визначається як межа сімейства сфер, таким чином.

Зафіксуємо точку $p$ фінслерового простору та геодезичний промінь $l$, що виходить з цієї точки. Розглянемо сімейство сфер $S(r,O),\ O\in l$, що проходять через точку $p$, центри яких розташовані на промені $l$. Межа послідовності цих сфер, коли радіус $r$ зростає до нескінченності, називається орисферою.

Пов'язані визначення

• Орисфера $H_{l^{-}}$, що проходить через точку $p$, і побудована за променем $l^{-}$, протилежно спрямованому променю $l$, називається спряженою до орисфери $H_{l^{+}}$, побудованої по променю $l$.
• Орикуля — тіло обмежене орисферою.
• На двовимірній фінслеровій поверхні орисфера називається орициклом.
• Сімейство орисфер, для якого точка $p$ пробігає всю пряму $l$, доповнене сімейством прямих «паралельних» $l$ утворює орициклічну систему координат.

Приклади

• В евклідовому просторі орисферами є евклідові площини. Відповідно, в евклідовій площині орициклом буде пряма. Отже, поняття орисфери в такому сенсі узагальнює поняття площини.

Простір Лобачевського

Залежно від моделі геометрії Лобачевського, орисфери мають такий вигляд:

• В моделі Пуанкаре в кулі $\Delta ^{n}$ орисферами будуть сфери, дотичні до абсолюту та круги, що проходять через центр сфери $\Delta ^{n}$.
• В моделі Пуанкаре у верхньому півпросторі $\mathbb {H} ^{n}=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|\ x_{n}>0\}$ орисферами будуть сфери, дотичні до площини $x_{n}=0$ (абсолюту) та площини $x_{n}=C,\ (C>0)$.

Властивості орисфер у многовидах Адамара

Многовидом Адамара називається повний однозв'язний ріманів многовид недодатної секційної кривини. Прикладом буде простір Лобачевського, як многовид сталої секційної кривини −1.

У многовиді Адамара класу $C^{\infty }$ орисфера буде поверхнею класу $C^{2}$. Тому для орисфер у многовиді Адамара існує нормальна кривина в кожній точці в будь-якому напрямку.

Відомо, що для сфер многовиду Адамара з обмеженими секційними кривинами $0>-k_{1}^{2}\geqslant K_{\sigma }\geqslant -k_{2}^{2},\ k_{1},k_{2}>0$ нормальна кривина сфер обмежена ${k_{2}}\geqslant k_{n}\geqslant {k_{1}}$. Оскільки, орисфера буде межею сфер, то нормальна кривина орисфер буде обмеженою: ${k_{2}}\geqslant k_{n}\geqslant {k_{1}}.$

Як наслідок отримуємо, що нормальна кривина орисфер у просторі Лобачевського дорівнює 1. А отже, у внутрішній метриці, індукованій простором Лобачевського, орисфера ізометрична евклідовому простору.

Просте доведення.  

Перша фундаментальна форма простору Лобачевського в моделі Пуанкаре у верхній півплощині має вигляд

$ds^{2}={\frac {dx_{1}^{2}+\dots +dx_{n}^{2}}{x_{n}^{2}}}.$

Тоді для орисфери $x_{n}=C,\ (C>0)$ отримуємо метрику евклідового простору.