Плоский модуль

Плоский модуль над кільцем R  — такий модуль, що тензорний добуток на цей модуль зберігає точні послідовності. Модуль називається строго плоским, якщо послідовність тензорних добутків точна тоді і тільки тоді, коли точною є вихідна послідовність.

Векторні простори, вільні і, більш загально, проєктивні модулі є плоскими. Для скінченнопороджених модулів над нетеровим кільцями плоскі модулі  — те ж саме, що проєктивні модулі. Для скінченнопороджених модулів над локальними кільцями все плоскі модулі є вільними модулями.

Поняття плоского модуля було введено Серром в 1955 році.

Означення

Можна дати кілька еквівалентних означень плоского модуля. Нижче означення подані для комутативних кілець.

• (Лівий) $R$-модуль $M$ називається плоским тоді і тільки тоді, коли функтор тензорного добутку $N\mapsto M\otimes _{R}N$ є точним. Даний функтор переводить $R$-гомоморфізм $f:\;N'\;\rightarrow \;N$ у $R$-гомоморфізм $f^{*}:\;M\otimes N'\;\rightarrow \;M\otimes N,$який на елементах виду $x\otimes y,\;x\in M,y\in N'$ задається як $f^{*}(x\otimes y)=x\otimes f(y)$і лінійно продовжується на весь тензорний добуток.
• Оскільки функтор тензорного добутку завжди є точним справа, попередню вимогу можна послабити. А саме, $R$-модуль $M$ є плоским, якщо для будь-якого ін'єктивного гомоморфізма $R$-модулів $f:K\to L$ індуковане відображення $f^{*}:M\otimes _{R}K\to M\otimes _{R}L$ також є ін'єктивним.
• Модуль $M$ є плоским, якщо для кожного скінченнопородженого ідеалу в кільці $R$ (з природним вкладенням $I\hookrightarrow R$) індуковане відображення $I\otimes _{R}M\to R\otimes _{R}M\cong M$є ін'єктивним.
• Існує направлена множина $R$-модулів $\{F_{\alpha }\}_{\alpha }$ з такими властивостями:

1. Для всіх $\alpha$, $F_{\alpha }$ є скінченнопородженим вільним $R$-модулем.
2. Індуктивна границя множини рівна $M$: $\varinjlim _{\alpha }F_{\alpha }=M$.

• Для будь-якої лінійної залежності в $M$,

$r^{T}x=\sum _{i=1}^{k}r_{i}x_{i}=0$,

де $r_{i}\in R,x_{i}\in M$, існує матриця $A\in R^{k\times j}$ така що

1. $Ay=x$ має розв'язок для деякого $y\in M^{j}$.
2. $r^{T}A=0$.

• Для будь-якого $R$-модуля $N$,

$\mathrm {Tor} _{1}^{R}(N,M)=0$ де $\mathrm {Tor} _{1}^{R}$ позначає функтор Tor.

• Для будь-якого скінченнопородженого ідеала $I\subset R$,

$\mathrm {Tor} _{1}^{R}(R/I,M)=0$.

• Для довільного відображення $f:F\to M$, де $F$ є скінченнопородженим вільним $R$-модулем, і для довільного скінченнопородженого $R$-підмодуля $K\leq \ker f$, $f$ розкладається через відображення у вільний $R$-модуль $G,$ для якого образ $K$ є нулем:

Factor property of a flat module

Властивості плоских модулів над комутативним кільцем

• Пряма сума $\bigoplus \nolimits _{i\in I}M_{i}$є плоским модулем тоді і тільки тоді, коли кожен модуль $M_{i}$ є плоским.
• Нехай $\{M_{i}:i\in I\}$є направленою системою плоских модулів над кільцем R, де I — направлена множина. Тоді індуктивна границя $M=\varinjlim M_{i}$ теж є плоским модулем.
• Теорема Говорова — Лазара: (лівий, правий) модуль M є плоским тоді і тільки тоді, коли він є індуктивною границею скінченнопороджених вільних модулів.
• Для будь-якої мультиплікативної системи S кільця R локалізація кільця S^-1R є плоским R-модулем.
• Модуль M над комутативним кільцем R є плоским тоді і тільки тоді, коли для кожного простого ідеалу ${\mathfrak {p}}\subset R$ локалізація $M_{\mathfrak {p}}$ є плоским ідеалом і тоді і тільки тоді коли для кожного максимального ідеалу ${\mathfrak {m}}\subset R$ локалізація $M_{\mathfrak {m}}$ є плоским ідеалом.
• Скінченнопороджений модуль є плоским тоді і тільки тоді, коли він є локально вільним. Локально вільний модуль над кільцем R  — такий модуль M, що його локалізація за будь-яким простим ідеалом $M_{\mathfrak {p}}$ є вільним модулем над кільцем часток $R_{\mathfrak {p}}$.

• Плоскі модулі можна вказати на наступному ланцюжку включень:

Модулі без кручень ⊃ плоскі модулі ⊃ проєктивні модулі ⊃ вільні модулі.

• Для деяких класів кілець правильними є і обернені включення: наприклад, кожен модуль без кручень над дедекіндовим кільцем є плоским, плоский модуль над кільцем Артіна є проєктивним і проєктивний модуль над областю головних ідеалів (або над локальним кільцем) є вільним.
• Якщо M є скінченнопредставленим модулем (тобто існує точна послідовність $0\to K\to F\to M\to 0$ в якій K і F є скінченнопородженими модулями і F також вільним модулем) то M є плоским тоді і тільки тоді, коли він є проєктивним. Якщо додатково R є комутативним локальним кільцем, то M є вільним модулем.
• Для R-модуля еквівалентними M є такі твердження (які можна вважати означеннями строго плоских модулів):
  1. Послідовність $0\;\rightarrow \;N'\;{\xrightarrow {\ f\ }}\;N\;{\xrightarrow {\ g\ }}\;\;N''\rightarrow 0$ R-модулів є точною тоді і тільки тоді, коли точною є послідовність $0\;\rightarrow \;M\otimes N'\;{\xrightarrow {\ f^{*}\ }}\;M\otimes N\;{\xrightarrow {\ g^{*}\ }}\;\;M\otimes N''\rightarrow 0.$
  2. Модуль M є плоским і для довільного R-модуля N, якщо $M\otimes N=0$ то $N=0.$
  3. Модуль M є плоским і для довільного R-гомоморфізма $f:\;N'\;\rightarrow \;N$, якщо породжений гомоморфізм $f^{*}:\;M\otimes N'\;\rightarrow \;M\otimes N$є нульовим гомоморфізмом, то і $f=0.$
• Для строго плоского R-модуля M його анулятор $\operatorname {Ann} (M)$є рівним нулю. Натомість плоский модуль із нульовим анулятором не обов'язково буде строго плоским, прикладом чого є $\mathbb {Z}$-модуль $\mathbb {Q}$.
• R-модуль M є строго плоским тоді і тільки тоді, коли він є плоским і для кожного максимального ідеалу ${\mathfrak {m}}\subset R,\;{\mathfrak {m}}M\neq M.$
• Якщо кільце S є R-алгеброю, тобто існує гомоморфізм $f:R\to S$, то S є строго плоским R-модулем тоді і тільки тоді, коли кожен простий ідеал кільця R є прообразом під дією f деякого простого ідеалу з S, тобто коли відображення $f^{*}\colon \mathrm {Spec} (S)\to \mathrm {Spec} (R)$ є сюр'єктивним (див. статтю Спектр кільця).
• Нехай, як і вище, S є R-алгеброю і вона є строго плоским R-модулем. Якщо $S\otimes _{R}M$ є скінченнопородженим (скінченнопредставленим) S-модулем, то і M є скінченнопородженим (скінченнопредставленим) R-модулем.
• При позначеннях попередньої властивості якщо $S\otimes _{R}M$ є скінченнопородженим проєктивним S-модулем, то і M є скінченнопородженим проєктивним R-модулем.

Категорні кограниці

• Прямі суми і індуктивні границі плоских модулів є плоскими. Це випливає з того факту, що тензорний добуток комутує з прямими сумами і індуктивними границями (більше того, воно комутує з усіма кограницями). Підмодулі і фактор-модулі плоского модуля не обов'язково є плоскими (наприклад, плоским не є модуль Z/2 Z). Проте якщо підмодуль плоского модуля є в ньому прямим доданком, то фактор за ним є плоским.

• Модуль є плоским тоді і тільки тоді, коли він є індуктивною границею скінченнопороджених вільних модулів. З цього випливає, зокрема, що кожен скінченнопредставлений плоский модуль є проєктивним.

Приклади

• Оскільки для кільця R і довільного R-модуля M виконується $M\simeq R\otimes _{R}M,$то R є плоским R-модулем. Відповідно це ж буде справедливим і для довільного вільного модуля над кільцем R.
• Оскільки $\mathbb {Q}$ є локалізацією кільця $\mathbb {Z}$ за мультиплікативною множиною $\mathbb {Z} \setminus \{0\},$ то $\mathbb {Q}$ є плоским $\mathbb {Z}$-модулем. Це є прикладом плоского але не проєктивного модуля. Також це є прикладом плоского модуля із нульовим анулятором, який не є строго плоским. Дійсно, наприклад, $\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} _{2}=0$але $\mathbb {Z} _{2}\neq 0.$

• Для будь-якого цілого числа $n>1,\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ не є плоским над $\mathbb {Z} ,$ оскільки $n:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} ,x\mapsto nx$ є ін'єктивним, але похідне відображення на тензорному добутку з $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ не є ін'єктивним.

• Модуль $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ не є плоским над $\mathbb {Z} .$

• Для кільця многочленів $S=A[x_{1},\dots ,x_{r}]$ над нетеровим кільцем $A$ і многочлена $f\in S$, що не є дільником нуля, $S/fS$ є плоским над $A$ якщо і тільки якщо $f$ є примітивним многочленом.

• Для нетерового кільця $R$ і його ідеалу $I$ поповнення $A\to {\widehat {A}}$ за ідеалом $I$ є плоским. Воно є строго плоским тоді і тільки тоді, коли $I$ міститься у радикалі Джекобсона кільця $R$.

Гомологічна алгебра

Властивість «плоскості» модуля можна виразити за допомогою функтора Tor, лівого похідного функтора для тензорного добутку. Лівий R- модуль M є плоским тоді і тільки тоді, коли Tor_n^R(-,M) = 0 для всіх $n\geq 1$ (тобто коли Tor_n^R(X, M) = 0 для всіх $n\geq 1$ і всіх правих R-модулів X), означення плоского правого модуля є аналогічним. Використовуючи цей факт, можна довести кілька властивостей короткої точної послідовності модулів:

$0\longrightarrow A{\stackrel {f}{\longrightarrow }}B{\stackrel {g}{\longrightarrow }}C\longrightarrow 0$

• Якщо A і C плоскі, то і B плоский.
• Якщо B і C плоскі, то і A є плоским.

• Якщо A і B плоскі, C в загальному випадку не є плоским. Однак:
• Якщо A  — прямий доданок модуля B і B є плоским, то A і C плоскі.

Плоскі резольвенти

Плоска резольвента модуля M  — це резольвента виду

… → F₂ → F₁ → F₀ → M → 0

де всі F_i є плоскими модулями. Плоскі резольвенти використовуються при обчисленні функтора Tor.

Довжина плоскої резольвенти  — це найменший індекс n, такий що F_n не дорівнює нулю і F_i = 0 для всіх i, що є більшими за n. Якщо модуль M має скінченну плоску резольвенту, її довжина називається плоскою розмірністю модуля. , в іншому випадку говорять, що плоска розмірність нескінченна. Наприклад, якщо модуль M має плоску розмірність 0, то з точністю послідовності 0 → F₀ → M → 0 випливає, що M є ізоморфним F ₀ , тобто є плоским.

Див. також

• Вільний модуль
• Проєктивний модуль
• Скрут (алгебра)

Література

• Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М: Мир, 1971.
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics, т. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
• Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+320 pp. ISBN 0-521-25916-9