Послідовність

Послідо́вність — функція визначена на множині натуральних чисел яка набуває значення на об'єктах довільної природи. $f\,:\;\mathbb {N} \,\rightarrow \,\!X$.

Записується у вигляді $\ \{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots \}$, чи коротко $\ \{x_{n}\}$. Елементи $\ x_{1},x_{2},\ldots$ називаються членами послідовності.

Можна розглядати послідовність як впорядковану (занумеровану натуральними числами) множину її членів.

В залежності від типу елементів, послідовності поділяють на числові та функціональні.

Наприклад: послідовність дійсних чисел — числова послідовність, яка набуває дійсних значень.

Варіанта — змінна, що приймає деяку послідовність значень. Термін введений Шарлем Мере.

Скінченна послідовність

Вище було наведено означення нескінченної послідовності. Послідовність може визначатись на скінченній підмножині натуральних чисел, тоді вона називається скінченною. Кількість членів послідовності називають довжиною послідовності.

Скінченна послідовність на відміну від нескінченної має скінченну довжину. Також для скінченних послідовностей використовується інше позначення: $\{x_{i}\}_{i=1}^{n}$. У цьому випадку i — лічильник, а n — кількість елементів.

Числова послідовність

Числова́ послідо́вність  — послідовність дійсних чисел, тобто відображення, яке кожному натуральному числу n ставить у відповідність дійсне число $x_{n}$. Число $x_{n}$ називають елементом або членом послідовності.

Послідовною називають функцію, яка задана на множині всіх або перших n натуральних чисел.

Числа, які утворюють послідовність називають членами послідовності.

Якщо послідовність має скінченне число членів, то її називають скінченною послідовністю.

Якщо послідовність має нескінченне число членів, то її називають нескінченною послідовністю, а у записі це показують трьома крапками після останнього записаного члена послідовності.

У загальному випадку члени послідовності, як правило, позначають малими буквами з індексами внизу. Кожний індекс вказує порядковий номер члена послідовності.

Щоб задати послідовність, потрібно вказати спосіб, за допомогою якого можна знайти будь-який його член.

1. Послідовність можна задати описом знаходження її членів.
2. Скінченну послідовність можна задати переліком її членів.
3. Послідовність можна задати таблицею, у якій навпроти кожного члена послідовності вказують його порядковий номер.
4. Послідовність можна задати формулою, за якою можна знайти будь-який член послідовності, знаючи його номер.
5. Спочатку вказати перший або кілька перших членів послідовності, а потім — умову, за якою можна визначити будь-який член послідовності за попереднім. Такий спосіб задання послідовності називають рекурентним. Іншими словами, для таких послідовностей окрім формули, яка виражає $a_{n+1}$ через $a_{1},...,a_{n},$ необхідно вказати один або декілька перших членів. За обчислення таких членів відбувається «повернення назад». Найпростішими випадками є арифметична прогресія й геометрична прогресія.

Нескінченно мала послідовність

Послідовність {$x_{n}$}називається нескінченно малою, якщо для будь-якого додатнього числа ε, можна вказати таке натуральне число N, що при n≥N, всі елементи {$x_{n}$} задовольняють нерівність |$x_{n}$|<ε

Чим більший знаменник додатного дробу, тим менше значення цього дробу. За достатньо великого значення знаменника дріб стає наскілько завгодно малим, наприклад, якщо $n>1\,000\,000,$ то ${\frac {1}{n}}<0,000\,001.$ З цього слідує, що якщо $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty ,$ то послідовність ${\frac {1}{a_{n}}}$ є нескінченно малою. Це значить, що яке б додатне число $\varepsilon$ не було обраним, знайдеться номер $N,$ починаючи з якого виконується нерівність ${\frac {1}{a_{n}}}<\varepsilon .$ Якщо не враховувати, що члени посліовності додатні, доведеться писати $|{\frac {1}{a_{n}}}|<\varepsilon .$

Більш загально, якщо послідовність $a_{1},...,a_{n},...$ нескінченно велика, то послідовність ${\frac {1}{a_{1}}},...{\frac {1}{a_{n}}},...$ нескінченно мала. Навпаки, якщо $\alpha _{1},...,\alpha _{n},...$ — нескінченно мала послідовність, то послідовність ${\frac {1}{\alpha _{1}}},...{\frac {1}{\alpha _{n}}},...$ нескінченно велика (зрозуміло, що усі $\alpha _{n}$ є відмінними від нуля).

Наприклад, послідовність $1,-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{4}},...$ нескінченно мала, оскільки послідовність $1,-2,3,-4,...$ нескінченно велика.

Основні властивості нескінченно малих послідовностей

1. Сума двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.
2. Різниця двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.
3. Добуток двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.
4. Добуток нескінченно малої послідовності на дійсне число є нескінченно мала послідовність.
5. Якщо всі елементи нескінченно малої послідовності рівні певному числу c, то це число рівне нулю. (c=0)
6. Якщо елементи {$x_{n}$} нескінченно великої послідовності відмінні від нуля, то послідовність {${\frac {1}{x_{n}}}$} є нескінченно малою.

Щоб доказати, що задана послідовність нескінченно мала, можна користатися наступними теоремами:

1. Якщо послідовності $(a_{n})$ та $(b_{n})$ нескінченно малі, то їх сума $(a_{n}+b_{n})$ нескінченно мала.
2. Якщо послідовність $(a_{n})$ нескінченно мала, а послідовність $(\alpha _{n})$ обмежена, то послідовність $(a_{n}\alpha _{n})$ нескінченно мала. Зокрема, нескінченно малий добуток двох нескінченно малих послідовностей.

Нескінченно велика послідовність

Послідовність $\{x_{n}\}$ називається нескінченно великою, якщо для будь-якого додатнього числа A, знайдеться натуральне число N, що для n≥N, всі елементи $\{x_{n}\}$ будуть задовольняти нерівність $|x_{n}|>A$

Границя послідовності

Послідовність із спільним членом $a_{n}={\frac {n^{2}+9}{n^{2}+4}}$ не є нескінченно малою. Але її спільний член можна записати як $a_{n}=1+{\frac {5}{n^{2}+4}},$ тобто у вигляді суми числа 1 й нескінченно малої послідовності (${\frac {5}{n^{2}+4}}$). Тому за достатньо великих значень номера $|{\frac {5}{n^{2}+4}}|$ стає дуже малим, а це значить що члени послідовності стають майже невідмінними від 1. У цьому випадку говорять про границю послідовності, яка дорівнює 1, та пишуть $\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{2}+9}{n^{2}+4}}=1.$

З властивостей нескінченно малих послідовностей випливають наступні властивості границь:

1. Якщо $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a$ та $\lim _{n\to \infty }b_{n}=b,$ то $\lim _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})=a+b$ та $\lim _{n\to \infty }a_{n}b_{n}=ab.$
2. Якщо $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a,\,\,\,$$\lim _{n\to \infty }b_{n}=b$, причому $b\neq 0$ та усі $b_{n}\neq 0,$ то $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {a}{b}}.$
3. Якщо послідовність $(a_{n})$ стала, тобто усі її члени дорівнюють одному і тому самому числу, $a_{n}=C,$ то й $\lim _{n\to \infty }a_{n}=C.$
4. Якщо спільний член послідовності є дробом, у чисельнику й знаменнику якого стоять поліноми від $n,$ які мають одий й той самий степінь, то границя цієї послідовності дорівнює відношенню коефіцієнтів при старших членах: $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{0}n^{k}+...+a_{k}}{b_{0}n^{k}+...+b_{k}}}={\frac {a_{0}}{b_{0}}}.$ Наприклад, $\lim _{n\to \infty }{\frac {4n^{3}-6n+1}{8n^{3}+5n^{2}+9}}={\frac {4}{8}}={\frac {1}{2}}.$

Приклади

• Натуральні парні числа (2,4,6,8,10,12,14,…). Функція, яка задає послідовність $a_{n}=2n$. Рекурсивне визначення — $a_{n}=a_{n-1}+2,a_{1}=2$.
• Послідовність Фібоначчі — (1,1,2,3,5,8,13,21,34,…). Рекурсивне визначення — $a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2},a_{1}=1,a_{2}=1$.
• Енциклопедія послідовностей цілих чисел

Розбиття

Із послідовністю пов'язане поняття розбиття. Розбиття — довільна (скінченна або нескінченна) послідовність

$\lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{r},...)$

цілих невід'ємних чисел, розташованих у порядку (несуворого) спадання, тобто

$\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq ...\geq \lambda _{r}\geq ...,$

й яка містить лише скінченне число ненульових членів. Можна не відрізняти послідовності, які відрізняються лише ланцюгом нулів у кінці. Наприклад, можна розглядати $(1,2),\,(1,2,0),\,(1,2,0,0,...)$ як одне й те саме розбиття.

Ненульові члени розбиття називаються частинами розбиття $\lambda .$ Число усіх частин називається його довжиною й позначається $\mathrm {card} (\lambda ),$ а сума усіх частин називається його вагою й позначається як $|\lambda |:$

$|\lambda |=\lambda _{1}+\lambda _{2}+...$

Якщо $|\lambda |=n,$ то $\lambda$ — розбиття числа $n.$ Множина усіх розбиттів числа $n$ позначається $P_{n}.$

Можна використовувати позначення, яке вказує, скільки разів кожне число входить до даного розбиття як частина:

запис $\lambda (1^{m_{1}}2^{m_{2}}...r^{m_{r}}...)$значить, що у точності $m_{i}$ частин розбиття $\lambda$ дорівнюють $i.$ Число

$m_{i}=m_{i}(\lambda )=\mathrm {card} \{j:\lambda _{j}=i\}$

називається кратністю числа $i$ у розбитті $\lambda$.

Послідовність може визначатись на скінченній підмножині натуральних чисел, тоді вона називається скінченною. Кількість членів послідовності називають довжиною послідовності.

Скінченна послідовність на відміну від нескінченної має скінченну довжину. Також для скінченних послідовностей використовується інше позначення: $\{x_{i}\}_{i=1}^{n}$. У цьому випадку i — лічильник, а n — кількість елементів.

Нехай $L_{n}$ — лексикографічне впорядкування множини $P_{n}$ розбиттів числа $n.$ $L_{n}$ є підмножиною $P_{n}\times P_{n},$ яка складається з таких пар $(\lambda ,\mu ),$ що або $\lambda =\mu ,$ або перша не перетворювана на 0 різниця $\lambda _{i}-\mu _{i}$ є додатною. Це лінійне впорядкування. Наприклад, за $n=5$ впорядкування $L_{n}$ розташовує елементи $P_{5}$ у послідовність

$(5),\quad (41),\quad (32),\quad (31^{2}),\quad (2^{2}1),\quad (21^{3}),\quad (1).$

Нехай даний цілочисельний вектор $a=(a_{1},...,a_{n})\in \mathbb {Z} ^{n}.$ Симетрична група $S_{n}$ діє на $\mathbb {Z} ^{n}$ перестановками координат, і множина

$P_{n}=\{b\in \mathbb {Z} ^{n}:\,b_{1}\geq b_{2}\geq ...\geq b_{n}\}$

є фундаментальною областю для цієї дії, тобто $S_{n}$-орбіта кожного $a\in \mathbb {Z} ^{n}$ перетинає $P_{n}$ у точці $a^{+}.$ Таким чином, $a^{+}$ отримується, якщо розташувати $a_{1},...,a_{n}$ у порядку спадання. Для $a,b\in \mathbb {Z} ^{n}$ відношення $a\geq b$ значить, як і вище, що

$a_{1}+...+a_{i}\geq b_{1}+...+b_{i}\quad (1\leq i\leq n).$

$\Box$Нехай $a\in \mathbb {Z} ^{n},$ тоді

$a\in P_{n}\Leftrightarrow a\geq wa\quad \forall wa\in S_{n}.$

Доказ. Нехай $a\in P_{n},$ тобто $a_{1}\geq ...\geq a_{n}.$ Якщо $wa=b,$ то $(b_{1},...,b_{n})$ є перестановкою послідовності $(a_{1},...,a_{n})$ та, значить,

$a_{1}+...+a_{i}\geq b_{1}+...+b_{i}\quad (1\leq i\leq n),$

тому $a\geq b.$

Навпаки, якщо $a\geq wa\,\,\,\forall w\in S_{n},$ то

$(a_{1},...,a_{n})\geq (a_{1},...,a_{i-1},a_{i+1},a_{i},a_{i+2},...,a_{n})$за $1\leq i\leq n-1,$ звідки слідує, що

$a_{i}+...+a_{i-1}+a_{i}\geq a_{1}+...a_{i-1}+a_{i+1},$

тобто $a_{i}\geq a_{i+1}.$ Тому $a\in P_{n}.\quad \blacksquare$

Для кожної пари чисел $i,j$ таких, що $1\leq i<j\leq n,$ визначається відображення $R_{ij}:\mathbb {Z} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$, яке задається формулою:

$R_{ij}(a)=(a_{1},...,a_{i}+1,...,a_{j}-1,...,a_{n}).$

Будь-який добуток виду $\prod _{i<j}R_{ij}^{r_{ij}}$ називається підвищуючим оператором. Наприклад, нехай $a\in \mathbb {Z} ^{n},$ a $R$ — підвищуючий оператор . Тоді $Ra\geq a.$ Якщо вважати, що $R=R_{ij},$ то це очевидно.

Та навпаки, нехай $a,b\in \mathbb {Z} ^{n}$ такі, що $a\leq b$ та $a_{1}+...+a_{n}=b_{1}+...+b_{n}.$ Тоді знайдеться підвищуючий оператор такий, що $b=Ra.$ У цьому випадку можна узяти

$R=\prod _{k=1}^{n-1}R_{k,k+1}^{r_{k}},$ де $r_{k}=\sum _{i=1}^{k}(b_{i}-a_{i})\geq 0.$ При вивченні розбиттів їх можна наочно представляти у вигляді дошки (діаграми, графа) Ферре або табла Юнга.

Див. також

• Підпослідовність
• Ряд
• Обмежена послідовність
• Монотонна послідовність
• Збіжна послідовність
• Теорема про три послідовності
• Теорема про арифметичні дії

Література

• Поняття послідовності // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 199. — 594 с.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)