Ріманова геометрія

Геометрія
Проєкція сфери на площину
Історія
Галузі Евклідова Сферична Неевклідова еліптична гіперболічна Синтетична Аналітична Алгебрична Диференціальна диференціальна топологія конформна ріманова псевдоріманова симплектична фінслерова групи Лі Скінченна Проєктивна
Положення Властивості Виміри Побудова за допомогою циркуля та лінійки Кут Крива Діагональ Ортогональність перпендикулярність Паралельність Вершина Конгруентність Подібність Симетрія
Без- / одновимірна Точка Пряма відрізок промінь Довжина
Двовимірна Площина Площа Многокутник Трикутник Висота Гіпотенуза Теорема Піфагора Паралелограм Квадрат Прямокутник Ромб Ромбоїд Чотирикутник Трапеція Дельтоїд прямокутний Коло Діаметр Окружність Площа круга
Тривимірна Об'єм Куб прямокутний паралелепіпед Циліндр Піраміда (геометрія) Сфера
Чотири- / більше-вимірів Тесеракт Гіперсфера
Видатні геометри Айда Ясуакі Аріабхата I Ібн аль-Хайсам Аполлоній Архімед Майкл Атія Янош Бояї Брамагупта Елі Жозеф Картан Гарольд Коксетер Декарт Евклід Ейлер Гаусс Громов Гільберт Хаям Кляйн Лобачевський Манава Мінковський Мінггату Паскаль Піфагор Парамешвара Пуанкаре Ріман Насир ад-Дін ат-Тусі Вірасена Ян Хуей Чжан Хен
Категорія • Портал

Ріманова геометрія є розділом диференціальної геометрії, який вивчає ріманові многовиди, гладкі многовиди з рімановою метрикою, тобто зі скалярним добутком на дотичному просторі в кожній точці, яка змінюється плавно від точки до точки. Це зокрема, дозволяє ввести локальні поняття кута, довжини кривої, площі поверхні та об'єму. З цих локальних глобальні величини можуть бути отримані шляхом інтегрування локальних складових.

Ріманова геометрія виникла з бачення Бернгарда Рімана, викладеного в його інавгураційній лекції Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Про гіпотези, що лежать в основі геометрії). Це дуже широке і абстрактне узагальнення диференціальної геометрії поверхонь в R³. Розвиток ріманової геометрії є результатом синтезу різних результатів, що стосуються геометрії поверхонь і поведінки геодезичних ліній на них, з методами, які можуть бути застосовані для вивчення диференційовних многовидів вищих розмірностей. Це уможливило загальну теорію відносності Ейнштейна, яка глибоко вплинула на теорію груп і теорію представлень, так само як і на аналіз, і стимулювала розвиток алгебричної і диференціальної топології.

Введення

Бернгард Ріман

Ріманову геометрію вперше винесено на загал Бернгардом Ріманом у XIX столітті. Вона має справу з широким спектром геометрій, метричні властивості яких змінюються від точки до точки, в тому числі стандартних типів неевклідової геометрії.

На будь-якому гладкому многовиді можна ввести ріманову метрику, яка часто допомагає вирішити проблеми диференціальної топології. Вона також слугує початковим рівнем для більш складної структури — псевдоріманових многовидів, які (в чотирьох вимірах) є основними об'єктами загальної теорії відносності. Інші узагальнення ріманової геометрії включають фінслерову геометрію.

Існує близька аналогія диференціальної геометрії з математичними структурами дефектів у звичайних кристалах. Дислокації та дисклінації породжують кривину і скрут.

Наступні статті містять корисний вступний матеріал до ріманової геометрії:

• Метричний тензор
• Ріманів многовид
• Кривина (математика)
• Тензор кривини

Класичні теореми в рімановій геометрії

Далі наведено неповний список найбільш класичних теорем в рімановій геометрії. Вибір зроблений залежно від її важливості, краси і простоти формулювання. Більшість результатів можна знайти в класичній монографії Джеффа Чігера і Д. Ебіна (див. нижче).

Наведені формулювання далеко не самі точні або більш загальні. Цей список орієнтований на тих, кому відомі основні визначення і хоче знати, про що ці визначення.

Загальні теореми

1. Теорема Гауса — Бонне — інтеграл від Гаусової кривини на компактному 2-вимірному рімановому многовиді M дорівнює 2πχ(M) де χ(M) позначає Ейлерову характеристику M. Ця теорема має узагальнення на будь-якому компактному парномірному рімановому мновиді, див. узагальнену теорему Гауса-Бонне.
2. Теорема Неша про регулярні вкладення, також її називають фундаментальною теоремою геометрії Рімана. Вона стверджує, що кожен Ріманів многовид можна ізометрично вкласти в Евклідів простір Rⁿ.

Геометрія в цілому

У всіх наступних теоремах ми припускаємо деяку локальну поведінку простору (зазвичай сформульовані припущенням про кривину), щоб отримати деяку інформацію про глобальну структуру простору, в тому числі будь-яку інформацію про топологічний тип многовиду або про поведінку точок на «достатньо великих» відстанях.

Затиснена секційна кривина

1. Теорема про сферу. Якщо M є компактний однозв'язний n-вимірний ріманів многовид з секційною кривиною затиснутою між 1/4 і 1, то M дифеоморфний сфері.
2. Теорема скінченності Чігера. Для заданих констант C, D і V, існує скінченне число (з точністю до дифеоморфізмів) — компактних n-вимірних ріманових многовидів з секційною кривиною |K| ≤ C, діаметром ≤ D та об'ємом ≥ V.
3. Майже плоскі многовиди Громова. Існує ε_n >0 таке, що якщо n-вимірний ріманів многовид має метрику з секційною кривиною |K| ≤ ε_n та діаметр ≤ 1, то його скінченне покриття дифеоморфне нільмноговиду.

Секційні кривини обмежені знизу

1. Теорема душі Чігера-Громолла. Якщо M є некомпактний повний n-вимірний ріманів многовид невід'ємної кривини, то M містить компактний, цілком геодезичний підмноговид S такий, що M дифеоморфне нормальному шаруванню S (S називається душею M.) Зокрема, якщо M має строго додатну кривину всюди, то воно дифеоморфне Rⁿ. Г. Перельман в 1994 році дав дивно елегантний/короткий доказ гіпотези: M дифеоморфне Rⁿ якщо воно має додатну кривину хоча б в одній точці.
2. Теорема Громова про число Бетті. Існує константа C = C(n) така, що якщо M є компактним зв'язним n-вимірним рімановим многовидом з додатною секційною кривиною, то сума його чисел Бетті максимально C.
3. Теорема обмеженості Грува-Петерсена. Для заданих констант C, D і V, існує скінченне число гомотопних типів компактних n-вимірних ріманових многовидів з секційною кривиною K ≥ C, діаметром ≤ D та об'ємом ≥ V.

Секційні кривини обмежені зверху

1. Теорема Адамара — Картана стверджує, що повний однозв'язний Ріманів многовид M з від'ємною секційною кривиною дифеоморфний Евклідовому простору Rⁿ з n = dim M за допомогою експоненціального відображення в будь-якій точці. Це означає, що будь-які дві точки однозв'язних повних ріманових многовидів з від'ємною секційною кривиною з'єднані єдиною геодезичною кривою.
2. Геодезичний потік будь-якого компактного ріманового многовиду з від'ємною секційною кривиною ергодичний.
3. Якщо M є повним рімановим многовидом з секційною кривиною, обмеженою зверху строго від'ємною константою k то це CAT(k) простір. Тому, його фундаментальна група Γ = π₁(M) є гіперболічною групою Громова. Це має багато наслідків для структури фундаментальної групи:

• вона скінченно представлена;
• проблема тотожності для Γ має позитивне рішення;
• група Γ має скінченну віртуальну когомологічну розмірність;
• вона містить лише скінченну кількість класів спряженості елементів скінченного порядку;
• Абелеві підгрупи Γ є фактично циклічними, так що вона не містить підгрупу ізоморфічну Z×Z.

Кривина Річчі обмежена знизу

1. Теорема Маєрса. Якщо компактний ріманів многовид має додатну кривину Річчі, то його фундаментальна група скінченна.
2. Теорема розщеплення. Якщо повний n-вимірний ріманів многовид має невід'ємну кривину Річчі і пряму лінію (тобто геодезичну, яка мінімізує відстань на кожному відрізку), то він ізометрічний прямому добутку числової прямої $\mathbb {R}$ та повного (n-1)-вимірного ріманового многовиду, з невід'ємною кривиною Річчі.
3. Нерівність Бішопа — Громова. Об'єм метричної кулі з радіусом r в повному n-вимірному рімановому многовиді з додатною кривиною Річчі не перевищує об'єм кулі того ж радіуса r в Евклідовому просторі.
4. Теорема Громова про компактність. Множина ріманових многовидів з додатними кривинами Річчі, діаметром не більше D є пред-компактом в метриці Громова — Гаусдорфа.

Від'ємна кривина Річчі

1. Ізометрична група компактного ріманового многовиду з від'ємною кривиною Річчі є дискретною.
2. На будь-якому гладкому многовиду вимірності n≥3 можна ввести ріманову метрику з від'ємною кривиною Річчі (Це невірно для поверхонь.)

Додатна скалярна кривина

1. n-вимірний тор не допускає метрику з додатною скалярною кривиною.
2. Якщо радіус ін'єктивності компактного n-вимірного ріманового многовиду ≥ π тоді середня скалярна кривина не перевищує n(n-1).

Див. також

• Форма Всесвіту
• Стала Чіґера

Література

• Математики й містики // Гіперпростір / Мічіо Кайку ; Пер. з англійської Анжела Кам’янець / Наук. ред. Іван Вакарчук. — Львів : Літопис, 2019. — С. 49-64.
• Берже, Марсель (2000), Ріманова геометрія протягом другої половини ХХ століття, Цикл університетських лекцій, т. 17, Род-Айленд: Американське математичне товариство, ISBN 0-8218-2052-4. (Наводиться історичний огляд, в тому числі сотні посилань.)
• Чігер, Джефф (2008), Теореми порівняння в рімановій геометрії, Провіденс: AMS Chelsea Publishing; Переглянутий передрук оригіналу 1975 року.
• Галлот, Сильвестр; Халін, Домінік; Лафонтен, Жак (2004), Ріманова геометрія, Університетський текст (вид. третє), Берлін: Спрінгер-Верлаг.
• Йост, Юрген (2002), Ріманова геометрія і геометричний аналіз, Берлін: Спрінгер-Верлаг, ISBN 3-540-42627-2.
• Петерсен, Пітер (2006), Ріманова геометрія, Берлін: Спрінгер-Верлаг, ISBN 0-387-98212-4
• Брендл, Саймон; Шоен, Річард М. (2007), Класифікація многовидів із слабкими 1/4-затисненими кривинами, arXiv:0705.3963