Криза основ математики

Криза основ математики — термін, що позначає пошук фундаментальних основ математики на межі XIX та XX століть.

Початок кризи

Теоретико-множинний підхід Кантора (наївна теорія множин), що отримав широкий розвиток наприкінці XIX століття, здавалося, дозволив звести всі галузі математики на його фундаменті. Він дозволив виразити в термінах цієї теорії всі основні математичні поняття. Можливість побудови математики на теоретико-множинному фундаменті Гільберт охарактеризував як «рай для математиків», а вже побудовану на цій основі частину математики називав «симфонією нескінченного».

Однак захоплення змінилося розпачем, коли були виявлені парадокси теорії множин.

Сутність парадоксів полягає в тому, що за допомогою логічно правильних міркувань вдається обґрунтувати (довести засобами даної теорії) одночасно деяке твердження та його заперечення, тобто протиріччя. Це означає суперечливість даної теорії, тобто в ній можна довести будь-яке твердження.

Шляхи усунення парадоксів

З метою уникнення деяких парадоксів було запропоновано обмежити принцип згортання — поширену математичну конструкцію, що дозволяє утворювати множини за допомогою тих чи інших властивостей об'єктів.

Принцип згортання

Принцип згортання полягає в тому, що для будь-якої властивості ${\mathcal {P}}$ вважається існуючою множина, що складається з тих і тільки тих об'єктів, які мають властивість ${\mathcal {P}}$. Формально:

$\exists M(x)(x\in M\leftrightarrow P(x))$

де ${\mathcal {P}}$ — довільна множина.

Обмежений принцип згортання

В обмеженому принципі згортання, до умови ${\mathcal {P}}(x)$ додається умова, згідно з якою елементи ${\mathcal {M}}$ беруться з деякої заданої множини ${\mathcal {E}}$, існування якої виведено з деякого («надійного») списку аксіом. Формально обмежений принцип згортання можна записати наступним чином:

$\exists M(x)(x\in M\leftrightarrow P(x)\land x\in E)$

Критика принципів основ математики

Однак позбавлення від виявлених парадоксів не гарантувало теорію множин від появи нових парадоксів. Тому, «криза основ математики» і надалі залишалася. Перед математиками стояло завдання переосмислення логічних засобів, що використовуються в математичних міркуваннях, їх надійності та їх відповідності суті математики. Гарантувати неможливість протиріч у математичній теорії міг лише доказ несуперечності цієї теорії.

Сутність кризи не вичерпувалася тільки парадоксами, а полягала також у наступному.

• Серед математиків намітилися істотні розбіжності в поглядах на теоретико-множинні та логічні принципи, що використовуювались у математиці.
• Виникли розбіжності в поглядах на вибір шляхів позбавлення від парадоксів.
• Існували принципові труднощі обґрунтування несуперечливості математики, багато з яких не подолано й досі.

Критика деяких теоретико-множинних принципів

Згідно з теоремою Банаха-Тарського можна «розбити» кулю на шматки і зібрати з них дві таких же кулі.

Критика передусім була спрямована на абстракцію актуальної нескінченності.

Іншим теоретико-множинним принципом, що викликав численні суперечки серед математиків, стала аксіома вибору. Суперечки навколо аксіоми вибору були викликані, з одного боку очевидністю твердження, а з іншого — неефективністю розуміння існування множини вибору, а також несподівані результати, одержані з її використанням (див. парадокс Банаха—Тарського). Варто відзначити, що незважаючи на явне протиріччя між твердженням теореми й повсякденним досвідом, дане твердження не є парадоксом.

Критика деяких логічних законів

Основними об'єктами критики стали такі логічні закони, як закон виключення третього $A\vee \neg A,$ закон зняття подвійного заперечення $\neg \neg A\rightarrow A$, а отже і побудований на ньому метод доведення від супротивного.

Поява логічних шкіл

У результаті різних поглядів на використання логічних і теоретико-множинних принципів, а також різних поглядів на шляхи виходу з кризи сформувалися різні математичні школи, що протистояли один одному.

Лідируючою школою була формалістська, з її лідером Гільбертом. Свої ідеї він зібрав у так званій «Гільбертовій програмі», що передбачала обґрунтувати математику на невеликому логічному базисі, що міститься в фінітизмі.

Основним противником даної школи була школа інтуїціоністів, що заперечувала можливість використання подвійного заперечення і яка вважала неприпустимим прийняття принципу абстракції актуальної нескінченності. Очолював школу Лейтзен Егберт Ян Брауер. Брауер відкидав формалізм як безглузду гру з символами. В 1920 році Гільберт домігся виключення Брауера, якого він вважав загрозою математиці, з групи редакторів Mathematische Annalen, головного математичного журналу того часу.

Однак теореми Геделя про неповноту, доведені в 1931 році, показали, що ключові аспекти програми Гільберта не можуть бути досягнуті.

Гедель показав, як побудувати для довільної несуперечливої ​​рекурсивно аксіоматизованої системи (досить сильної, щоб аксіоматизувати арифметику натуральних чисел), твердження, для якого може бути показана його правдивість, але яке не може бути доведене в цій системі. Таким чином, стало зрозуміло, що математичні основи не можуть бути зведені до суто формальної системи, як передбачалося у гільбертовій програмі, яка передбачала, що несуперечність може бути встановлена ​​фінітичними засобами.

У той же час, інтуїціоністська школа не привернула до себе постійних послідовників серед активних математиків через проблеми конструктивної математики.

Висновок

Розбіжності серед математиків з приводу логічних законів, що використовуються в математиці, свідчили про необхідність вивчення логічних засобів та їхнього перегляду. Ці розбіжності сприяли створенню «некласичних логік». Найважливішою з них є інтуїціоністська логіка.

Криза все ще не пройдена, але затихла. Більшість математиків у роботах використовують несуперечливість системи ZFC, найпопулярнішої аксіоматичної системи.