Тригранник Френе

Тригранник Френе вздовж гвинтової лінії. Вектори $\tau$ — синій, $\nu$ — червоний, $\beta$ — чорний.

Тригранник або репер Френе — це природний рухомий репер у тривимірному просторі, що виникає на C³-гладкій кривій.

Нехай $\gamma (t)$ — C³-гладка крива в Евклідовому просторі $\mathbb {E} ^{3}$. Крива задана радіус-вектором $r=r(s)$, де s — натуральний параметр. З точкою ненульової кривини $p\in \gamma (t),\ p=r(s)$ можна зв'язати три вектори $\tau (s),\nu (s),\beta (s),$ які утворюють ортонормований базис. Де

$\tau ={\dot {r}}(s)$ — одиничний дотичний вектор,

$\nu ={\frac {{\ddot {r}}(s)}{||{\ddot {r}}(s)||}}$ — одиничний вектор головної нормалі,

$\beta =[\tau ,\nu ]$  — одиничний вектор бінормалі до кривої в даній точці.

Вектори ${\tau },{\nu },{\beta }$ зв'язані співвідношеннями:

${\begin{matrix}{\frac {d\tau }{ds}}&=&&k\nu &\\&&&&\\{\frac {d\nu }{ds}}&=&-k\tau &&+\,\varkappa \beta \\&&&&\\{\frac {d\beta }{ds}}&=&&-\varkappa \nu &\end{matrix}}$

Величини

$k=||{\ddot {\gamma }}(s)||,\quad \varkappa =-\langle {\dot {\beta }},\;{\nu }\rangle$

називають, відповідно, кривиною та скрутом кривої в даній точці. Рівняння виду $k=f(s)\in C^{1},\ \kappa =g(s)\in C^{0},\,$ де $f(s)$ усюди додатна називаються натуральними рівняннями кривої та визначають її з точністю до руху у просторі. Це твердження називають основною теоремою теорії кривих.

Формули Френе також відомі як теореми Френе, можна сформулювати, більш стисло, використовуючи матричні позначення:

${\begin{bmatrix}\tau '\\\nu '\\\beta '\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&k&0\\-k&0&\varkappa \\0&-\varkappa &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\tau \\\nu \\\beta \end{bmatrix}}.$

Ця матриця буде кососиметричною.

Визначення

T та N вектори у двох точках на плоскій кривій, переносимо вектор T (позначено пунктиром), різницю векторів позначимо, як δT. Відстань між точками позначимо δs. Границя ${\tfrac {d\mathbf {T} }{ds}}$ буде в напрямку N і кривина описує швидкість обертання репера.

Нехай r(t) — це крива в евклідовому просторі, що представлена радіус-вектором як функція, залежна від часу. Формули Френе-Серрі виконуються для невироджених кривих. Це криві, у яких вектор швидкості r'(t) та вектор прискорення r"(t) не будуть паралельними.

Нехай s(t) задається довжиною дуги, яка змінюється вздовж частини кривої. У випадку, коли крива задана ненатуральною параметризацією, можна перейти до неї за допомогою наступної формули:

$s(t)=\int _{0}^{t}\|\mathbf {r} '(\sigma )\|d\sigma .$

Більш того, з того, що r′ ≠ 0 слідує, що s(t) — строго монотонно зростаюча функція. Тому візьмемо t як функцію, залежну від s, і запишемо у вигляді: r(s) = r(t(s)). Тоді, крива буде параметризована за допомогою довжини дуги.

Посилання

• Формулы Френе. Трёхгранник Френе (рос.)

Література

• Борисенко, О. А. Диференціальна геометрія і топологія: Навч. посібник для студ. — Харків : Основа, 1995. — С. 41-46. — ISBN 5-7768-0388-8. Архівовано з джерела 23 січня 2022
• Пришляк О., Диференціальна геометрія: Курс лекцій. — К.: Київський університет, 2004. — 68 с. [Архівовано 14 квітня 2010 у Wayback Machine.]