Матриця Якобі

Матриця Якобі описує головну лінійну частину довільного відображення $\mathbf {u} \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$.

Визначення

Нехай задано відображення $\mathbf {u} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},\mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{m}),u_{i}=u_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),i=1,\ldots ,m,$, що має в деякій точці x всі часткові похідні першого порядку. Матриця J, складена з часткових похідних цих функцій в точці x, називається матрицею Якобі цієї системи функцій.

$J(x)={\begin{pmatrix}{\partial u_{1} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{1} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{1} \over \partial x_{n}}(x)\\{\partial u_{2} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{2} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{2} \over \partial x_{n}}(x)\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\partial u_{m} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{m} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{m} \over \partial x_{n}}(x)\end{pmatrix}}$

Зв'язані визначення

• Якщо m = n, то визначник $|J|$ матриці Якобі називається визначником Якобі (якобіаном) системи функцій $u_{1},\ldots ,u_{n}$.
• Відображення називають невиродженим, якщо його матриця Якобі має максимальний можливий ранг:

  $\mathrm {rg} \,J=\min(m,n)$

Властивості

• Якщо всі $\mathbf {u} _{i}$ неперервно діференцюються в околі $\mathbf {x} _{0}$, то

  $\mathbf {u} (x)=\mathbf {u} (x_{0})+J(x_{0})(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})+o(|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|)$

• Хай $\varphi \colon {\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}}_{m},~\psi \colon {\mathbb {R}}^{m}\to {\mathbb {R}}^{k}$ — відображення, що диференціюються, $J_{\varphi }$, $\ J_{\psi }$ — їхні матриці Якобі. Тоді матриця Якобі композиції відображень дорівнює добутку їхніх матриць Якобі (властивість функторіальності):

  $J_{\psi \circ \varphi }=J_{\psi }J_{\varphi }$

• За теоремою Сарда, для гладкого (k-разів диференційовного) відображення, множина точок, на якій матриця Якобі вироджена, відображається у множину нульової міри (міра Лебега).

Дивися також

• Диференціал