Тригонометрія

Тригономе́трія (від грец. τρίγονο — трикутник та μετρειν — вимірюю, тобто буквально вимірювання трикутників) — розділ елементарної математики, що лежить на перетині алгебри та геометрії і вивчає співвідношення між сторонами й кутами трикутників, дозволяючи проводити кутові обчислення через спеціально визначені функції кутів.

Основним інструментом тригонометрії є тригонометричні функції, визначені для прямокутного трикутника, що значно полегшують обчислення, оскільки дозволяють замінити геометричні побудови, алгебраїчними операціями.

Історичні відомості

Деякі відомості з науки, що пізніше одержала назву тригонометрії, були ще у стародавніх єгиптян. У папірусі Ахмеса є п'ять задач, що стосуються вимірювання пірамід, у яких згадується якась функція кута — «сект». Є думка, що «сект» відповідає котангенсу кута. Застосування цієї функції мало суто практичну причину: єгипетські архітектори будували піраміди, строго додержуючись одного й того самого значення кута нахилу бічної грані до основи (52°) і кута між ребром та діагоналлю основи (42°). А для цього треба було знати відповідні відношення між лінійними елементами чотирикутної піраміди.

Вавилоняни так само мали деякі знання з цієї галузі математики: вони запровадили поділ кола на 360° та поділ градуса на 60 частин, що відповідало прийнятій у стародавній Месопотамії шістдесятковій системі числення. Для вимірювання кутів вавилоняни користувалися примітивною астролябією.

Стародавні греки вміли розв'язувати багато тригонометричних задач, але вони застосовували геометричні, а не алгебраїчні методи.

Тригонометричну фунцію синус вперше запровадили стародавні індійці в «Сур'я Сіддханті». Властивості цієї функції дослідив індійський математик 5 століття Аріабхата I. Подальший внесок у розвиток тригонометрії зробили арабські математики. До 10 століття вони оперували всіма тригонометричними фунціями і протабелювали їх. В Європу поняття тригонометричних функцій прийшло з перекладами праць аль-Баттані та Ат-Тусі. Однією з перших праць європейської математики, присвячених тригонометрії була книга «De Triangulis» німецького математика 15 століття Регіомонтана. Проте, ще в 16 столітті тригонометрія була мало відома. Миколай Коперник змушений був посвятити її опису 2 окремих розділи в своїй праці «Про обертання небесних сфер».

Швидкий подальший розвиток тригонометрії був зумовлений вимогами навігації та картографії. Сам термін тригонометрія запровадив, опублікувавши в 1595 книгу під такою назвою, Варфоломей Пітіск. Гемма Фрізій описав метод триангуляції.

Із становленням математичного аналізу тригонометрія отримала нові методи. Завдяки працям Брука Тейлора та Коліна Маклорена тригонометричні функції отримали представлення у вигляді рядів. Формула Муавра встановила зв'язок між тригонометричними функціями та експонентою. Леонард Ейлер розширив означення тригонометричних функцій на комплексну площину.

Тригонометричні функції

Прямокутний трикутник

Тригонометрія ґрунтується на співвідношенні подібності. Трикутники з двома рівними кутами подібні, тому подібні прямокутні трикутники, в який рівний один гострий кут. Відношення довжин сторін у подібних трикутників однакове, тому відношення сторін прямокутних трикутників залежить тільки від одного параметра — гострого кута. Ця обставина дозволяє означити тригонометричні фукнції: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс і косеканс, як відношення різних сторін прямокутного трикутника.

Нехай ABC — прямокутний трикутник. C — вершина прямого кута, AB — гіпотенуза, AC і BC — катети, α — кут BAC.

Прямі тригонометричні функції

	Формула	Назва	Визначення
$\ \sin \alpha$	sin α =BC/AB=a/c	синус	відношення протилежного катета до гіпотенузи
$\ \cos \;\alpha$	cos α =AC/AB=b/c	косинус	відношення прилеглого катета до гіпотенузи
$\ {\text{tg}}\;\alpha$	tg α =BC/AC=a/b	тангенс	відношення протилежного катета до прилеглого
$\ {\text{ctg}}\;\alpha$	ctg α =AC/BC=b/a	котангенс	відношення прилеглого катета до протилежного
$\ {\text{sec}}\;\alpha$	sec α =AB/AC=c/b	секанс	відношення гіпотенузи до прилеглого катета
$\ {\text{csc}}\;\alpha$	csc α =AB/BC=c/a	косеканс	відношення гіпотенузи до протилежного катета

Обернені тригонометричні функції

Для кожної прямої тригонометричної функції існує обернена. Назви оберенних функцій утворюються додаванням префікса арк- до назви відповідної прямої фунцкії. Наприклад,

$\ \arcsin \;x$ — арксинус, кут, синус якого дорівнює х;

$\ \arccos \;x$ — арккосинус, кут, косинус якого дорівнює х.

$\ {\text{arctg}}\;x$ — арктангенс, кут, тангенс якого дорівнює х.

Формули переходу

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\!$

Це співвідношення є наслідком теореми Піфагора й називається тригонометричною одиницею.

${\text{tg}}\,x={\frac {\sin x}{\cos x}}\!$

${\text{ctg}}\,x={\frac {\cos x}{\sin x}}\!$

Основні теореми тригонометрії

Визначені для прямокутного трикутника тригонометричні функції дозволяють розв'язувати довільні трикутники з використанням основних теорем: теореми синусів, теореми косинусів.

Теорема синусів стверджує, що відношення синуса кута до довжини протилежної сторони трикутника однакова для всіх кутів трикутника.

Теорема косинусів дозволяє визначити довжину третьої сторони трикутника, якщо відомі довжини двох сторін та значення кута між ними.

Площа трикутника теж може бути визначена через тригонометричні функції: вона дорівнює половині добутку прилеглих сторін на синус кута між ними.

Найпростіші тригонометричні рівняння

Рівняння, в яких фігурують тригонометричні функції, називають тригонометричними. Найпростіші з них мають аналітичні розв'язки, завдяки існуванню обернених тригонометричних функцій. Оскільки тригонометричні функції періодичні, такі розв'язки не єдині, а визначаються з точністю до періоду.

${\begin{matrix}\sin x=a&(|a|\leq 1)&x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n\\\cos x=a&(|a|\leq 1)&x=\pm \arccos a+2\pi n\\{\text{tg}}\,x=a&&x={\text{arctg}}\,a+\pi n\\{\text{ctg}}\,x=a&&x={\text{arcctg}}\,a+\pi n\\\end{matrix}}$

Формули перетворення тригонометричних виразів

Синус та косинус суми/різниці

$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y\!$

$\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y\!$

$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y\!$

$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\!$

Сума/різниця синусів та косинусів

$\sin x+\sin y=2\sin {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}\!$

$\sin x-\sin y=2\sin {\frac {x-y}{2}}\cos {\frac {x+y}{2}}\!$

$\cos x+\cos y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}\!$

$\cos x-\cos y=-2\sin {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}\!$

Застосування

Тригонометричні обчислення застосовуються практично у всіх областях геометрії, фізики й інженерної справи. Велике значення має техніка тріангуляції, що дозволяє вимірювати відстані до недалеких зірок в астрономії, між орієнтирами в географії, контролювати системи навігації супутників. Також слід відзначити застосування тригонометрії в таких областях, як теорія музики, акустика, оптика, аналіз фінансових ринків, електроніка, теорія ймовірностей, статистика, біологія, медицина (включаючи ультразвукове дослідження (УЗД) і комп'ютерну томографію), фармацевтика, хімія, теорія чисел (і, як наслідок, криптографія), сейсмологія, метеорологія, океанологія, картографія, фізика, топографія та геодезія, архітектура, фонетика, економіка, електронна техніка, машинобудування, комп'ютерна графіка, кристалографія.

Див. також

• Таблиця інтегралів тригонометричних функцій

Посилання

• Динамічні математичні моделі FIZMA.neT

Джерела

• К. І. Швецов, Г. П. Бевз Довідник з елементарної математики, 1967, К. «Наукова думка». — 656 с. (укр.)