Ізоморфізм груп

Ізоморфі́зм груп — бієктивний гомоморфізм груп.

Визначення

Ізоморфізм груп — взаємно однозначне відображення $\ \phi$ групи (G, *) в групу (H, ·), що зберігає групову операцію, тобто:

$\phi :G\rightarrow H:\quad \phi (x*y)=\phi (x)\cdot \phi (y)\quad \forall {\mathit {x,y}}\in G.$

Ізоморфні групи у певному сенсі є еквівалентними.

Приклади

• Група лінійних операторів та група матриць, що відповідають цим операторам за фіксації певного базису, є ізоморфними.

• Група дійсних чисел з додаванням, ізоморфна групі додатніх дійсних чисел з множенням:

$(\mathbb {R} ,+)\cong (\mathbb {R} ^{+},\times )$

через ізоморфізм $\ f(x)=e^{x}$ (див. експонента).

Автоморфізм групи

Автоморфізм групи — ізоморфізм групи (G, *) в себе. Тобто бієкція

$\phi :G\rightarrow G:\quad \phi (x*y)=\phi (x)*\phi (y)\quad \forall {\mathit {x,y}}\in G.$

Автоморфізм групи називається внутрішнім, якщо його можна задати як

$\exists a\in G\;\;\forall x\in G:\quad \phi (x)=a*x*a^{-1}.$

Не внутрішній автоморфізм називають зовнішним автоморфізмом.

• Автоморфізм завжди переводить одиницю групи в себе ж.
• Композиція двох автоморфізмів є автоморфізмом. Множина всіх автоморфізмів G, відносно композиції утворює групу — групу автоморфізмів G, позначається — Aut(G).
• Множина всіх внутрішніх автоморфізмів є нормальною підгрупою в Aut(G), і позначається — Inn(G).
• Факторгрупа Aut(G) / Inn(G) називається групою зовнішніх автоморфізмів, і позначається — Out(G).

Див. також

• Ізоморфізм
• Гомоморфізм груп
• Теореми про ізоморфізми

Джерела

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Кон П. Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)