Загальна лінійна група: відмінності між версіями
[перевірена версія] | [перевірена версія] |
Kushel (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
Addbot (обговорення | внесок) |
||
Рядок 74: | Рядок 74: | ||
[[Категорія:Лінійна алгебра]] |
[[Категорія:Лінійна алгебра]] |
||
[[ca:Grup lineal general]] |
|||
[[de:Allgemeine lineare Gruppe]] |
|||
[[en:General linear group]] |
|||
[[eo:Ĝenerala lineara grupo]] |
|||
[[es:Grupo lineal general]] |
|||
[[fr:Groupe général linéaire]] |
|||
[[he:החבורה הלינארית הכללית]] |
|||
[[it:Gruppo generale lineare]] |
|||
[[nl:Algemene lineaire groep]] |
|||
[[pl:Pełna grupa liniowa]] |
|||
[[pt:Grupo linear geral]] |
|||
[[ru:Полная линейная группа]] |
[[ru:Полная линейная группа]] |
||
[[zh:一般线性群]] |
Версія за 22:50, 26 березня 2013
Загальна лінійна група — в математиці група всіх оборотних квадратних матриць над деяким кільцем.
Формальне визначення
Загальною лінійною групою порядку n називається четвірка , де:
- R є асоціативним кільцем з одиницею,
- — оборотні матриці порядку n над даним кільцем,
- Груповою операцією є множення матриць,
- Зворотним елементом є обернена матриця,
- Одиничним елементом є одинична матриця.
Будь-яка підгрупа загальної лінійної групи називається лінійною групою.
Векторні простори
Якщо V — векторний простір над полем F, то загальною лінійною групою лінійного простру або називається група всіх автоморфізмів V, тобто множина всіх бієктивних лінійних відображень де груповою операцією є композиція відображень .
Якщо простір V має скінченну розмірність , то і ізоморфні. Однак, ізоморфізм не є канонічним, оскільки він залежить від вибору базисів V. Якщо — базис, і автоморфізмів , маємо
для деяких констант . Матриця, відповідна Т має елементами .
Визначники
Матриця є оборотна над полем F, якщо і тільки якщо її визначник відмінний від нуля. Таким чином, може бути визначена як група матриць з ненульовим визначником. Для кільця R маємо: матриця над R є оборотною тоді і тільки тоді, коли її визначник є оборотним елементом в R. Отже, може бути визначена як група матриць з оборотними визначниками.
Спеціальна лінійна група
Спеціальною лінійною групою порядку n над полем F називається лінійна група, що містить всі квадратні матриці порядку n з елементами поля K, визначник яких дорівнює одиниці. Спеціальна лінійна група позначається .
Примітки
- Ці матриці утворюють групу, так як визначник добутку двох матриць дорівнює добутку їх визначників, і тому множина даних матриць замкнута відносно множення.
- Спеціальну лінійну групу можна охарактеризувати як групу лінійних перетворень, що зберігають об'єм і напрям .
Скінченні поля
Якщо K є скінченним полем з q елементами, іноді використовується запис .
Порядок
Порядок групи
- .
Для прикладу, порядок рівний (8 - 1) (8 - 2) (8 - 4) = 168. Це група автоморфізмів площини Фано, і групи
Аналогічні формули для :
- .
Властивості
- Якщо n > 2, то група не є абелевою.
- є нормальною підгрупою .
- Нехай буде мультиплікативною групою поля K, тоді визначник є гомоморфізмом груп:
- .
- є напівпростим добутком
Пов'язані групи
Проективна група
Проективна група і проектні спеціальні лінійні групи є факторгрупами і відносно скалярних матриць.
Афінна група
Афінна група — розширення за допомогою групи перенесень. Її можна записати за допомогою напівпростого добутку:
- . Афінна група може також розглядатися як групи всіх афінних перетворень афінного простору.
Література
- Baker A. Matrix groups, an introduction to Lie groups Springer, 2002 ISBN 1852334703