Модель теплоємності Ейнштейна

Запропонована Ейнштейном модель теплоємності твердого тіла виходить з припущення, що тверде тіло складається з осциляторів з певною власною частотою $\omega$, які підкоряються статистиці, аналогічній статистиці світлових квантів у теорії випромінювання абсолютно чорного тіла Планка

Математичне формулювання

Для системи, що складається з N тривимірних осциляторів, внутрішня енергія задається фомулою

$U=3N{\frac {\hbar \omega }{e^{\hbar \omega /k_{B}T}-1}}$,

де $\hbar$ - приведена стала Планка, $k_{B}$ - стала Больцмана, T - абсолютна температура.

Відповідно, теплоємність

$C_{V}={\frac {\partial U}{\partial T}}=3k_{B}N\left({\frac {\hbar \omega }{k_{B}T}}\right)^{2}{\frac {e^{\hbar \omega /k_{B}T}}{\left(e^{\hbar \omega /k_{B}T}-1\right)^{2}}}$

Успіхи й недоліки

Теорія Ейнштейна пояснює закон Дюлонга-Пті при високих температурах і падіння теплоєності до нуля при низьких температурах, однак не може кількісно відтворити закон цього падіння. Недоліком теорії є те, що вона не враховує взаємодію між осциляторами. Врахувавши таку взаємодію в 1912 році Петер Дебай побудував теорію теплоємності, яка правильно відтоворює кубічну залежність теполоємності від температури при низьких температурах (закон Дебая).

Теорію Ейнштейна можна також з успіхом застосовувати для обчислення вкладу в теплоємність оптичних фононів, нехтуючи їхньою дисперсією.