Рівняння Шредінгера: відмінності між версіями
[перевірена версія] | [перевірена версія] |
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 1: | Рядок 1: | ||
{{Квантова механіка}} |
{{Квантова механіка}} |
||
'''Рівняння Шредінгера''' — основне рівняння нерелятивістської [[квантова механіка|квантової механіки]], яке визначає закон еволюції квантової системи з часом. |
'''Рівняння Шредінгера''' — основне рівняння нерелятивістської [[квантова механіка|квантової механіки]], яке визначає закон еволюції квантової системи з часом. |
||
: <math> i \hbar {d\over d t} \left| \psi (t) \right\rangle = H \left| \psi (t) \right\rangle.</math>, |
: <math> i \hbar {d\over d t} \left| \psi (t) \right\rangle = \hat{H} \left| \psi (t) \right\rangle.</math>, |
||
де <math> \left| \psi (t) \right\rangle </math> — [[хвильова функція]], <math> H </math> — [[гамільтоніан]]. Уперше це рівняння було записане [[Ервін Шредінгер|Ервіном Шредінгером]] у 1926 році. |
де <math> \left| \psi (t) \right\rangle </math> — [[хвильова функція]], <math> \hat{H} </math> — [[гамільтоніан]]. Уперше це рівняння було записане [[Ервін Шредінгер|Ервіном Шредінгером]] у 1926 році. |
||
== Властивості == |
== Властивості == |
Версія за 09:11, 16 червня 2013
Квантова механіка |
---|
Вступ · Історія Математичні основи[en] |
Фундаментальні поняття |
Наближені методи |
Відомі науковці |
Рівняння Шредінгера — основне рівняння нерелятивістської квантової механіки, яке визначає закон еволюції квантової системи з часом.
- ,
де — хвильова функція, — гамільтоніан. Уперше це рівняння було записане Ервіном Шредінгером у 1926 році.
Властивості
Внаслідок квантового принципу суперпозиції станів рівняння, що описує еволюцію системи, має бути лінійним. Рівняння Шредінгера є саме таким.
Рівняння Шредінгера не лоренц-інваріантне, тобто справедливе лише для частинок, швидкість яких набагато менша за швидкість світла. Загальніше рівняння Дірака переходить у рівняння Шредінгера при малих швидкостях. Тому при взаємодії з магнітним полем (яке є чисто релятивістським явищем) не можна використовувати звичайне рівняння Шредінгера.
Комплексно спряжене рівняння
- ,
збігається з рівнянням Шредінгера, якщо замінити t на −t, а хвильову функцію на . Це факт відображає зворотність процесів у квантовій механіці.
Детермінізм
Для визначення хвильової функції будь-якої нерелятивістської квантовомеханічної системи необхідно розв'язати рівняння Шредінгера із початковими умовами
- ,
де — певне початкове значення хвильової функції.
Дана умова аналогічна постановці основної задачі класичної механіки: знання початкових умов і рівняння руху повністю визначає поведінку системи в наступні моменти часу. Цей принцип називаються квантовим детермінізмом.
В реальному експерименті приготувати квантовомеханічну систему у стані із відомою початковою хвильовою функцією буває важко. У випадку, коли це складно, використовується інший підхід (див. матриця густини).
Формальний розв'язок
Формальний розв'язок рівняння Шредінгера
Тут є не числом, а оператором, який називають оператором еволюції.
Стаціонарне рівняння Шредінгера
Якщо гамільтоніан квантової системи не зажить від часу, рівняння Шредінгера можна розв'язати відносно часу методом розділення змінних і отримати так зване стаціонарне рівняння Шредінгера
- ,
де E — певне дійсне число, яке інтерпретують, як енергію. Це рівняння є рівнням на власні значення. Розв'язуючи його знаходять енергетичний спектр квантової системи, тобто такі значення E, при яких розв'язок існує. Кожному власному значенню стаціонарного рівняння Шредінгера відповідає власна фукнція .
Загальний розв'язок часового рівняння Шредінгера тоді записується у вигляді:
- ,
де — комплексні коефіцієнти, які можна визначити з початкових умов.
У разі, коли гамільтоніан квантової системи залежить від часу, наприклад, при взаємодії системи з електромагнітною хвилею, перехід до стаціонарного рівняння Шредінгера неможливий. В такій квантовій системі енергія не зберігається, система може поглинати енергію хвилі або віддавати її хвилі.
Див. також
Література
- Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
- Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К. : Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
- Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.