Рівняння Шредінгера

Рівняння Шредінгера — основне рівняння руху нерелятивістської квантової механіки, яке визначає закон еволюції квантової системи з часом.

$i\hbar {d \over dt}\left|\psi (t)\right\rangle ={\hat {H}}\left|\psi (t)\right\rangle .$,

де $\left|\psi (t)\right\rangle$ — хвильова функція, ${\hat {H}}$ — гамільтоніан. Уперше це рівняння було опубліковане Ервіном Шредінгером у 1926 році.

Для вільної частинки у координатному зображенні рівняння Шредінгера має вигляд

$i\hbar {d\psi (\mathbf {r} ,t) \over dt}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \psi (\mathbf {r} ,t),$,

де $\Delta$ - оператор Лапласа, а m - маса частинки, тобто є хвильовим рівнянням, розв'язками якого є хвилі із квадратичним законом дисперсії:

$\hbar \omega ={\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} ^{2}}{2m}}$.

Отже, рівняння Шредінгера описує хвилі де Бройля, але водночас для частинки в зовнішньому потенціалі рівняння має розв'язки, локалізовані в просторі. Спектр таких розв'язків дискретний. Зокрема, рівняння Шредінгера розв'язується точно для частинки в кулонівському потенціалі, тобто відтворює енергетичний спектр атома водню.

Властивості

Внаслідок квантового принципу суперпозиції станів рівняння, що описує еволюцію системи, має бути лінійним. Рівняння Шредінгера є саме таким, тобто, якщо дві хвильові функції $|\varphi (t)\rangle$ та $|\chi (t)\rangle$ задовольняють рівнянню Шредінгрера, то суперпозиція

$|\psi (t)\rangle =a|\varphi (t)\rangle +b|\chi (t)\rangle$,

з довільними комплексними коефіцієнтами a і b теж йому задовільняє.

Рівняння Шредінгера не інваріантне щодо перетворень Лоренца, тобто справедливе лише для частинок, швидкість яких набагато менша за швидкість світла. Загальніше рівняння Дірака переходить у рівняння Шредінгера при малих швидкостях. Тому при взаємодії з магнітним полем (яке є чисто релятивістським явищем) у загальному випадку не можна використовувати звичайне рівняння Шредінгера, а потрібно враховувати релятивістські поправки, зокрема спін (дивіться рівняння Паулі).

Комплексно спряжене рівняння

$-i\hbar {\frac {\partial \left|\psi ^{*}\right\rangle }{\partial t}}={\hat {H}}\left|\psi ^{*}\right\rangle$,

збігається з рівнянням Шредінгера, якщо замінити t на −t, а хвильову функцію $\left|\psi \right\rangle \,$ на $\left|\psi ^{*}\right\rangle$. Цей факт відображає зворотність процесів у квантовій механіці.

У граничному випадку $\hbar \rightarrow 0$ рівняння Шредінгера зводиться до рівняння Гамільтона-Якобі класичної механіки, що означає сумісність квантового опису фізичної системи з класичним (дивіться Квазікласичне наближення).

Детермінізм

Для визначення хвильової функції будь-якої нерелятивістської квантовомеханічної системи необхідно розв'язати рівняння Шредінгера із початковими умовами

$\left|\psi (0)\right\rangle =\left|\psi _{0}\right\rangle \,$,

де $\left|\psi _{0}\right\rangle \,$ — певне початкове значення хвильової функції.

Дана умова аналогічна постановці основної задачі класичної механіки: знання початкових умов і рівняння руху повністю визначає поведінку системи в наступні моменти часу. Цей принцип називаються квантовим детермінізмом.

В реальному експерименті приготувати квантовомеханічну систему у стані із відомою початковою хвильовою функцією буває важко. У випадку, коли це складно, використовується інший підхід (див. матриця густини).

Формальний розв'язок

Формальний розв'язок рівняння Шредінгера

$\left|\psi (t)\right\rangle =\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t\right)\left|\psi _{0}\right\rangle$

Тут $\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t\right)$ є не числом, а оператором, який називають оператором еволюції.

Стаціонарне рівняння Шредінгера

Якщо гамільтоніан квантової системи не зажить від часу, рівняння Шредінгера можна розв'язати відносно часу методом розділення змінних і отримати так зване стаціонарне рівняння Шредінгера

${\hat {H}}\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle$,

де E — певне дійсне число, яке інтерпретують, як енергію. Це рівняння є рівнням на власні значення. Розв'язуючи його знаходять енергетичний спектр квантової системи, тобто такі значення E, при яких розв'язок існує. Кожному власному значенню $E_{n}$ стаціонарного рівняння Шредінгера відповідає власна фукнція $\psi _{n}$.

Загальний розв'язок часового рівняння Шредінгера тоді записується у вигляді:

$\left|\Psi (t)\right\rangle =\sum _{n}a_{n}e^{-{\frac {i}{\hbar }}E_{n}t}\left|\psi _{n}\right\rangle$,

де $a_{n}$ — комплексні коефіцієнти, які можна визначити з початкових умов.

У разі, коли гамільтоніан квантової системи залежить від часу, наприклад, при взаємодії системи з електромагнітною хвилею, перехід до стаціонарного рівняння Шредінгера неможливий. В такій квантовій системі енергія не зберігається, система може поглинати енергію хвилі або віддавати її хвилі.

Див. також

• Рівняння Клейна-Гордона
• Рівняння Дірака

Література

• Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
• Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К. : Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
• Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.