Метрика простору-часу

Схематичне двовимірне зображеня викривлення простору-часу біля масивного тіла

Метрика простору-часу - 4-тензор, який визначає властивості простору-часу в загальній теорії відносності.

Позначається здебільшого $g_{ij}$.

В інерційній системі відліку матриця простору часу має вигляд

${\hat {g}}=\left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}}\right)$.

В неінерційних системах відліку вигляд метрики простору-часу змінюється і загалом залежить від точки простору і моменту часу.

Метрика простору-часу задає викривлення простору, яке відчуває спостерігач, що рухається з прискоренням. Оскільки за принципом еквівалентності спостерігач жодним чином не може відрізнити неінерційність зв'язаної з ним системи відліку від гравітаційного поля, то метрика простору-часу визначає також викривлення простору в полі масивних тіл.

Просторово-часовий інтервал виражається через метрику простору-часу формулою

$ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}\,$.

Оскільки метрика задає перетворення координат, то її називають також метричним тензором.

Метрика простору-часу використовується для встановлення зв'язку між коваріантними і контраваріантними записами будь-якого 4-вектора

$A_{i}=g_{ij}A^{j}\,$.

Детермінант метрики простору часу, який позначається g, від'ємний.

Контраваріантна форма метричного тензора зв'язана з коваріантною за допомогою повністю антисиметричного тензора

$E^{ijkl}={\frac {1}{\sqrt {-g}}}e^{ijkl}\,$,

де $e^{ijkl}$ - звичайний повністю антисиметричний тензор, визначений в інерційній системі відліку, тобто тензор, компоненти якого дорівнюють 1 або -1 і змінюють знак при перестановці будь-яких двох індексів.

Таким чином

$g^{ij}={\frac {1}{\sqrt {-g}}}e^{ijkl}g_{kl}\,$

Джерела

• Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. (1974). Теоретическая физика. т. ІІ. Теория поля. Москва: Наука.