Гіперповерхня

Гіперповерхнею називається многовид розмірності $n$, який є підмножиною евклідового простору на одиницю більшої розмірності $n+1$.

Одиничний вектор нормалі

Нехай гіперповерхня задана параметричними рівняннями:

$(1)\qquad \mathbf {r} =\mathbf {r} (u^{1},u^{2},\dots u^{n})$

Будемо скрізь в цій статті вважати функції (1) достатньо гладкими (неперервні другі похідні), з невиродженим метричним тензором $g_{ij}=(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j})$.

Координатні вектори $\mathbf {r} _{i}={\partial \mathbf {r} \over \partial u^{i}}$ в точці многовида $P$ задають афінний підпростір - дотичну до многовида гіперплощину. Ортогональним доповненням до гіперплощини є пряма $L$, що проходить через дану точку многовида і перпендикулярна до неї. Виберемо (якийсь один із двох можливих) напрям цієї прямої і відкладемо на прямій одиничний вектор $\mathbf {n}$. В сусідній (близькій до точки $P$) точці $P'$ многовида ортогональна пряма $L'$ буде близькою по напрямку до прямої $L$, тому проекція вектора $\mathbf {n}$ на $L'$ уже однозначно задає додатній напрям на прямій $L'$. Відкладемо в цьому додатньому напрямку прямої $L'$ одиничний вектор $\mathbf {n} '$. Таким чином, рухаючись від однієї точки многовида до іншої в деякій області многовида, ми матимемо векторну функцію:

$(2)\qquad \mathbf {n} =\mathbf {n} (P)=\mathbf {n} (u^{1},u^{2},\dots u^{n})$

Ця функція буде неперервною (оскільки гіперповерхня (1) гладка, без особливих точок). Спробуємо поширити функцію $\mathbf {n} =\mathbf {n} (P)$ на весь многовид. Це можна зробити в тому випадку, коли рухаючись по будь-якому замкнутому контуру, що лежить в гіперповерхні, почавши з точки $P$ і обчислюючи по неперервності вектор нормалі, ми вернемося в точку $P$ з тим самим напрямком вектора нормалі. Така гіперповерхня називається двосторонньою або орієнтовною. Але бувають і такі гіперповерхні, що обійшовши деякий замкнутий контур ми повернемось в точку $P$ з протилежним вектором нормалі. Такі гіперповерхні називають односторонніми або неорієнтовними. Прикладами односторонніх гіперповерхонь є стрічка Мебіуса та пляшка Клейна.

Із ортогональності вектора нормалі до координатних векторів гіперповерхні маємо рівняння:

$(3)\qquad (\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} _{i})=0$

а одинична довжина вектора нормалі описується рівнянням:

$(4)\qquad \mathbf {n} ^{2}=(\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} )=1$

Тензор повної кривини

Із розкладу

$(5)\qquad \mathbf {r} _{ij}=\Gamma _{ij}^{k}\mathbf {r} _{k}+\mathbf {b} _{ij}$

і того факту, що існує лише один напрям $\mathbf {n}$, ортогональний до векторів $\mathbf {r} _{i}$, слідує, що всі вектори $\mathbf {b} _{ij}$ колінеарні вектору $\mathbf {n}$, тобто ми можемо записати:

$(6)\qquad \mathbf {b} _{ij}=\mathbf {n} b_{ij}$

Числа $b_{ij}$ є проекціями векторів $\mathbf {b} _{ij}$ на вектор нормалі $\mathbf {n}$, а тому можуть бути як додатніми так і від'ємними. Відповідно до формули (6), кривина всіх геодезичних ліній, що проходять через фіксовану точку $P$ многовиду, паралельна вектору $\mathbf {n}$ (центри кривини лежать на прямій, що ортогональна до многовиду):

$(7)\qquad \mathbf {k} =\mathbf {b} _{ij}\tau ^{i}\tau ^{j}=\mathbf {n} b_{ij}\tau ^{i}\tau ^{j}=\mathbf {n} k$

$(7a)\qquad k=b_{ij}\tau ^{i}\tau ^{j}$

Похідні вектора нормалі

Диференціювання по координатам многовида формули (4) дає:

$(8)\qquad {\partial \over \partial u^{i}}\mathbf {n} ^{2}=2(\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} _{i})=0$

тобто похідні одиничного вектора нормалі $\mathbf {n} _{i}={\partial \mathbf {n} \over \partial u^{i}}$ ортогональні до самого вектора нормалі $\mathbf {n}$, а тому лежать в дотичній до многовида гіперплощині. Ми можемо розкласти вектор $\mathbf {n} _{i}$ по базисних векторах дотичного простору:

$(9)\qquad \mathbf {n} _{i}=\alpha _{i}^{j}\mathbf {r} _{j}$

Знайдемо коефіцієнти розкладу $\alpha _{i}^{j}$. Для цього помножимо ліву і праву частини формули (9) скалярно на вектор $\mathbf {r} _{k}$.
Для лівої частини маємо:

$(10)\qquad (\mathbf {n} _{i}\cdot \mathbf {r} _{k})=\partial _{i}(\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} _{k})-(\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} _{ik})=-b_{ik}$

А для правої:

$(11)\qquad \alpha _{i}^{j}(\mathbf {r} _{j}\cdot \mathbf {r} _{k})=\alpha _{i}^{j}g_{jk}=\alpha _{ik}$

Із формул (9-11) одержуємо наступну формулу для обчислення похідних одиничного вектора нормалі через тензор повної кривини:

$(12)\qquad \mathbf {n} _{i}=-b_{i}^{j}\mathbf {r} _{j}$

Відмітимо, що вектор $\mathbf {n}$ ортогональний до координат на многовиді, а тому його коваріннтна похідна співпадає з частинною похідною (подібно до градієнта скаляра):

$(13)\qquad \nabla _{i}\mathbf {n} =\partial _{i}\mathbf {n} =\mathbf {n} _{i}$

Головні кривини і напрямки гіперповерхні

Симетричний тензор $b_{ij}$ в дотичному в точці $P$ до гіперповерхні векторному просторі задає лінійне перетворення:

$(14)\qquad y_{i}=b_{i}^{j}x_{j}$

і ми можемо поставити задачу на власні числа і вектори цього перетворення. Спочатку перейдемо в систему координат, яка буде прямокутною декартовою в точці $P$ (дивіться Майже декартові координати в точці многовида). Оскільки метричний тензор в цій точці одиничний ($g_{ij}=\delta _{ij}$), то коваріантні і контраваріантні координати тензора $b_{ij}$ будуть однакові, тому перетворення (14) здійснюється симетричною матрицею $b_{i}^{j}$. Як відомо з теорії матриць, симетрична матриця має $n$ взаємно ортогональних власних векторів ${\boldsymbol {\tau }}^{(s)},\;s=1,2,\dots n$ (ми можемо їх вважати також одиничними), причому всі відповідні їм власні числа є дійсними числами $k^{(s)}$ (що можуть бути як додатніми так і від'ємними). В обраній системі координат маємо:

$(15)\qquad b_{i}^{j}\tau _{j}^{(s)}=k^{(s)}\tau _{i}^{(s)}$

$(16)\qquad \sum _{i}\tau _{i}^{(s)}\tau _{i}^{(p)}=({\boldsymbol {\tau }}^{(s)}\cdot {\boldsymbol {\tau }}^{(p)})=\delta ^{sp}={\begin{cases}1,&s=p\\0,&s\neq p\end{cases}}$

Формула (15) має тензорний характер, а тому справедлива в будь-якій системі координат, так само і ортогональність власних векторів (16) можна записати в будь-якій системі координат через метричний тензор:

$(16)\qquad g^{ij}\tau _{i}^{(s)}\tau _{j}^{(p)}=g_{ij}\tau ^{(s)i}\tau ^{(p)j}=\delta ^{sp}$

По формулі (7a) ми можемо знайти кривину геодезичної лінії, що проведена паралельно одному з власних векторів ${\boldsymbol {\tau }}^{(s)}$:

$(17)\qquad k=b_{ij}\tau ^{(s)i}\tau ^{(s)j}=k^{(s)}\tau _{j}^{(s)}\tau ^{(s)j}=k^{(s)}$

Власні числа $k^{(1)},k^{(2)},\dots k^{(n)}$ називаються головними кривинами гіперповерхні, а відповідні їм власні вектори - головними напрямками.

В системі координат, яка в точці $P$ гіперповерхні має координатні вектори $\mathbf {r} _{i}$ що співпадають з головними напрямками, матриця тензора повної кривини $b_{ij}=b_{i}^{j}$ буде діагональною:

$(18)\qquad B=(b_{ij})={\begin{bmatrix}k^{(1)}&0&\cdots &0\\0&k^{(2)}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\ddots &\cdots \\0&0&\cdots &k^{(n)}\end{bmatrix}}$

Те ж саме можна записати в тензорних позначеннях:

$(19)\qquad b_{ij}=k^{(i)}\delta _{ij}$

в цій формулі додавання по індексу $i$ не проводиться.

Запишемо спектральний розклад тензора $b_{ij}$, користуючись власними числами і векторами. В довільній системі координат маємо:

$(20)\qquad b_{ij}=\sum _{s}k^{(s)}\tau _{i}^{(s)}\tau _{j}^{(s)}$

Рівняння Петерсона-Кодацці

Розглянемо дію комутатора коваріантних похідних на координатні вектори:

$(21)\qquad [\nabla _{j}\nabla _{k}]\mathbf {r} _{i}=-R_{\,ijk}^{s}\mathbf {r} _{s}$

Цей комутатор ми можемо записати через тензор повної кривини:

$(22)\qquad [\nabla _{j}\nabla _{k}]\mathbf {r} _{i}=\nabla _{j}(\nabla _{k}\mathbf {r} _{i})-\nabla _{k}(\nabla _{j}\mathbf {r} _{i})=\nabla _{j}\mathbf {b} _{ki}-\nabla _{k}\mathbf {b} _{ji}=$

$\qquad =(\nabla _{j}\mathbf {n} )b_{ki}+\mathbf {n} \nabla _{j}b_{ki}-(\nabla _{k}\mathbf {n} )b_{ji}-\mathbf {n} \nabla _{k}b_{ji}=-(b_{j}^{s}b_{ki}-b_{k}^{s}b_{ji})\mathbf {r} _{s}+\mathbf {n} (\nabla _{j}b_{ki}-\nabla _{k}b_{ji})$

Порівнюючи формули (21) і (22) знаходимо:

$(23)\qquad R_{\,ijk}^{s}=b_{j}^{s}b_{ki}-b_{k}^{s}b_{ji},\qquad R_{ijkl}=b_{ik}b_{jl}-b_{il}b_{jk}$

$(24)\qquad \nabla _{j}b_{ki}=\nabla _{k}b_{ji}$

Рівняння (24) називається рівнянням Петерсона-Кодацці. Цю рівність можна трактувати таким чином: коваріантна похідна тензора повної кривини для гіперповерхні є симетричним тензором з трьома індексами:

$(25)\qquad \nabla _{i}b_{jk}=b_{ijk}$

Тензор внутрішньої кривини

Підставимо в формулу (23) спектральний розклад (20). Знаходимо тензор Рімана:

$(26)\qquad R_{ijkl}=b_{ik}b_{jl}-b_{il}b_{jk}=\sum _{p,s}\left(k^{(p)}\tau _{i}^{(p)}\tau _{k}^{(p)}k{(s)}\tau _{j}^{(s)}\tau _{l}^{(s)}-k^{(p)}\tau _{i}^{(p)}\tau _{l}^{(p)}k{(s)}\tau _{j}^{(s)}\tau _{k}^{(s)}\right)=$

$\qquad =\sum _{p,s}k^{(p)}k^{(s)}\tau _{i}^{(p)}\tau _{j}^{(s)}\left(\tau _{k}^{(p)}\tau _{l}^{(s)}-\tau _{l}^{(p)}\tau _{k}^{(s)}\right)$

Введемо позначення бівектора - орієнтованої площадки ${\boldsymbol {\sigma }}^{(ps)}$, побудованої на двох векторах головних напрямків:

$(27)\qquad {\boldsymbol {\sigma }}^{(ps)}={\boldsymbol {\tau }}^{(p)}\wedge {\boldsymbol {\tau }}^{(s)}$

або те саме в компонентах:

$(28)\qquad \sigma _{ij}^{(ps)}=\tau _{i}^{(p)}\tau _{j}^{(s)}-\tau _{j}^{(p)}\tau _{i}^{(s)}$

Ці бівектори мають одиничну площу і взаємно ортогональні:

$(29)\qquad |{\boldsymbol {\sigma }}^{(ps)}|=|{\boldsymbol {\tau }}^{(p)}||{\boldsymbol {\tau }}^{(s)}|\sin \phi =1$

$(30)\qquad \sigma _{ij}^{(ps)}\sigma ^{(kl)\,ij}=0,\;if(ps)\neq (kl)$

В правій частині формули (26) діагональні доданки з однаковими індексами ($p=s$) дорівнюють нулю, а недіагональні розбиваються на дві однакові по кількості групи: доданки з $p<s$, і доданки з $p>s$. Тому формулу (26) можна переписати так:

$(31)\qquad R_{ijkl}=\sum _{p<s}k^{(p)}k{(s)}\sigma _{ij}^{(ps)}\sigma _{kl}^{(ps)}$

Із формули (31) і властивості бівектора легко видно, що має виконуватися алгебраїчна тотожність Біанкі.

В системі координат, що побудована на головних напрямках гіперповерхні, власні вектори мають координати:

$(32)\qquad \tau _{i}^{(s)}=\delta _{i}^{s},\qquad {\boldsymbol {\tau }}^{(s)}=\{0,0,\dots 1,0,\dots 0\}$