Інтуїціонізм

Інтуіціонізм сукупність філософських та математичних поглядів, що розглядають математичні судження з позицій інтуїтивної переконливості. Розрізняються два трактування интуиционизма: інтуїтивна переконливість, яка не пов'язана з питанням існування об'єктів, і наочна розумова переконливість. У інтуіціоніостской математиці відкидається підхід теорії множин і ряд міркувань класичної логіки. Абстракція потенційної здійсненності, яка використовується в интуиционистской математиці, найкраще співвідноситься з дійсністю, ніж абстракція актуальної нескінченності.

Інтуїционістськая логіка

У интуиционистской математиці судження вважається істинним, лише якщо його можна довести. Тобто істинність твердження «Існує об'єкт x, для якого вірно судження A(x) » доводиться побудовою такого об'єкта, а істинність твердження «A або B»доводиться або доказом істинності твердження A, або доказом істинності твердження B. Звідси, зокрема, випливає, що твердження«A або НЕ A»може бути не істинним, а закон виняток третього неприйнятний. Істинним математичним судженням є ряд виконаних побудов ефективного характеру з використанням интуиционистской логіки. Ефективність не обов'язково пов'язана з наявністю алгоритму і може залежати від фізичних та історичних чинників, фактичного вирішення проблем. Основними об'єктами дослідження интуиционистской математики є конструктивні об'єкти: натуральні та раціональні числа, кінцеві безлічі конструктивних об'єктів зі списком елементів, вільно що стають послідовності (послідовності вибору, кожний член яких може бути ефективно доступний), інтуїционістському види (властивості, якими можуть володіти об'єкти дослідження). Вільно що стають послідовності розрізняють залежно від ступеня інформації, відомої досліднику. Якщо закон формування послідовності відомий повністю, то її називають заданої законом, якщо відомий лише початковий відрізок — беззаконної. Види будуються в ієрархію, коли елементи виду визначаються незалежно від самого виду, що дозволяє уникати антиномій. Види рідко є об'єктами дослідження, більшість результатів интуиционистской математики можна отримати без їх використання.

Інтуіціонізм та інші математичні підходи

У трактуванні теорії множин не робиться відмінність між абстрактними об'єктами та об'єктами, існування яких можна підтвердити побудовою. У класичній математики на нескінченні множесто екстраполювали властивості та закони кінцевих сукупностей. При цьому не існує способу ефективної побудови об'єктів, що знаходить своє відображення в так званих «теоремах чистого існування». Відсутність можливості побудови не має зв'язку з антиноміями теорії множин та відноситься до всіх розділів математики. Значне вплив один на одного зробили концепції формалізму та интуиционизма. Змістовні критерії метаматематики, необхідні для обґрунтування несуперечності формальних теорій, зазвичай уточнюються в рамках интуиционизма. Водночас, ряд результатів интуиционистской логіки був отриманий за допомогою формалізації методу. У широкому трактуванні конструктивний напрям математики можна розглядати як частину интуиционистской математики.

Исторический очерк

Критика теории множеств привела к возникновению двух течений: интуиционизма Лёйтзена Эгберта Яна Брауэра и формализма Давида Гильберта. В 1904 году Л. Э. Я. Бауэр подверг развёрнутой критике ряд концепций классической математики. Его внимание привлёк статус существования: можно ли потенциально построить такие объекты исследования как неизмеримое множество действительных чисел, нигде не дифференцируемая функция? Можно ли полагать, что в окружающем мире существуют бесконечные множества объектов? Интуиционистская математика в идеалистической трактовке Бауэра — это убедительность мысленных построений, не связанная вопросом существования объектов. Другая трактовка — это «наглядная умственная убедительность простейших конструктивных процессов реальной действительности». Бауэр возражал против формализации интуиционизма. Аренд Гейтинг сформулировал интуиционистское исчисление предикатов и интуиционистское арифметическое исчисление, Альфредом Тарским была открыта топологическая интерпретация, а Андреем Николаевичем Колмогоровым — интерпретация в виде исчисления задач. Понимание в форме рекурсивной реализуемости было предложено Стивеном Коулом Клини и поддержано научной школой Андрея Андреевича Маркова. К 70-м годам XX века было завершено построение теории свободно становящихся последовательностей.