Обернена функція: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Рядок 36: | Рядок 36: | ||
: <math> F \circ F^{-1} = \mathrm{id}_Y</math>, |
: <math> F \circ F^{-1} = \mathrm{id}_Y</math>, |
||
: <math> F^{-1} \circ F = \mathrm{id}_X</math>, |
: <math> F^{-1} \circ F = \mathrm{id}_X</math>, |
||
де <math>\circ</math> означає [[Композиція функцій|композицію функцій]], а <math>\mathrm{id}_X, \mathrm{id}_Y</math> — [[ |
де <math>\circ</math> означає [[Композиція функцій|композицію функцій]], а <math>\mathrm{id}_X, \mathrm{id}_Y</math> — [[Тото́жність відобра́ження|Тото́жне відобра́ження]] на <math>X</math> і <math>Y</math>. |
||
* Функція <math>F</math> є оберненою до <math>F^{-1}</math>: |
* Функція <math>F</math> є оберненою до <math>F^{-1}</math>: |
||
: <math>\left(F^{-1}\right)^{-1} = F</math>. |
: <math>\left(F^{-1}\right)^{-1} = F</math>. |
Версія за 05:46, 17 червня 2016
Обернена функція (обернене відображення) до даної функції f — в математиці така функція g, яка в композиції з f дає тотожне відображення.
Нехай f: X → Y та g: Y → X деякі функції (відображення).
Визначення
Функція називається оберненою до функції , якщо виконані наступні рівності:
- для всіх
- для всіх
Існування
Щор знайти обернену функцию, потрібно розв'язати рівняння відносно . Якщо воно має більше чим один корінь, то функції, оберненої до не існує. Таким чином, функція обернена на проміжку тоді і тільки тоді, коли на цьому проміжку вона взаємно-однозначна.
Для неперервної функції виразити із рівняння можливо тільки в тому випадку, коли функція строго монотонна (см. теорема про неявну функцію). Тим не меньше, неперервну функцію завжди можно обернути на проміжках її строгої монотонності. Наприклад, є оберненою функцією до на , хоча на проміжку обернена функція інша: .
Якщо композиція функцій f o g = EY, де E: Y→Y - тотожне відображення, то f має назву лівого оберненого відображення (функції) до g, а g - правого оберненого відображення (функції) до f.
Якщо справедливо і f o g = EYі g o f = EX, то g має назву оберненого відображення (оберненої функції) до f і позначається як f-1. Тобто f-1(f(x))=f(f-1(x))=x.
Приклади
- Якщо , де то
- Якщо , де фіксовані постійні і , то
- Якщо , то
Не слід плутати позначку f-1 з позначенням степеня.
Наприклад, для функції, визначеної як f(x) → 3x + 2, оберненою функцією буде x → (x - 2) / 3. Це часто записується як:
Властивості
- Областю визначення є множина , а областю значень множина .
- При побудові маємо:
или
- ,
- ,
або корочше
- ,
- ,
де означає композицію функцій, а — Тото́жне відобра́ження на і .
- Функція є оберненою до :
- .
- Нехай — бієкція. Нехай її обернена функція. Тоді графіки функцій і симетричні відносно прямої .
Див. також
Література
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
- С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.