Відношення толерантності

Визначення

Відношення толерантності (близькості, подібності) — рефлексивне, симетричне та не транзитивне бінарне відношення.

Відношення на множині називається толерантністю, або відношенням толерантності, якщо воно рефлексивне і симетричне.Відношення «бути другом», «бути знайомим», - відношення толерантності, так як вони рефлексивне, симетричне, але не транзитивне. Відношення «мати непорожній перетин» для множин - відношення толерантності. Множина із заданим на ній відношенням толерантності називається простором толерантності.

Клас толерантності

Якщо $T$ - толерантність на множині $\mathrm {A}$ і $a\in \mathrm {A}$, то підмножина $~\{x|x,a\in T\}$називається класом толерантності.Класи толерантності утворюють покриття множини $A$. Якщо дано покриття $\{A_{i}\mid i\in I\}$ множини $A$, то відношення $T=\{(x,y)\mid x,y\in A,i\in I\}$ являється толерантністю. Однак класи цієї толерантності не обов'язково повинні збігатися з множиною $\{A_{i}\mid i\in I\}$. Наприклад, якщо толерантність $T$ являється покриттям $\{A_{1},A_{2},A_{3}\}$, де $A_{3}\subseteq A_{1}\cup A_{2}$ і $A_{1}\cap A_{2}\neq \varnothing$, то до числа класів толерантності належать об'єднання $A_{1}\cup A_{2}$, а $A_{3}$ класом толерантності не являється. Клас $K$ толерантності $T$ називається максимальним, якщо $K\subseteq L$, де $L$ - деякий клас толерантності $T$, з чого виходить, що $K=L$. Покриття $\{A_{i}\mid i\in I\}$ множини $A$ збігається з множиною всіх максимальних класів деякої толерантності тоді і тільки тоді, коли для будь-яких $i\in I$ та $\backprime I''\subseteq I$ включення $A_{i}\subseteq \bigcup _{x\in A}A_{x}$, з чого випливає, що $\bigcap _{x\in I}A_{x}\subseteq A_{i}$.

Від схожості до толерантності

Приклад 1

Наприклад, дві нові "Волги" одного випуску і кольору з точки зору покупця цілком однакові і, стало бути, синоніми. Але дві "Волги" різного випуску (або нова і стара "Волги" одного випуску) тільки схожі. При відсутності необхідного вибору одна може замінити іншу, якщо покупець готовий погодитися з подібною заміною.

Приклад 2

Двоє близнюків бувають настільки однаковими, що без усякого ризику можуть складати іспити один за одного. Якщо два студенти тільки схожі, то така шахрайська витівка, хоча і здійсненна, але ризиковою.

Пояснення

Якщо для об'єктів зазначено тільки схожість, то неможливо їх розбити на чіткі класи так, що всередині класу об'єкти схожі, а між об'єктами різних класів подібності немає. У разі подібності виникає розмита ситуація без чітких меж.

Кожен елемент множини несе певну інформацію про схожих на нього елементів. (Але не всю інформацію, як у випадку однакових елементів).

Найвищий ступінь від подібності - неподібність, а зовсім не однаковість, як може здатися на перший погляд. Однаковість - властивість якісно інша. Справа в тому, що нерозрізнені об'єкти (так само, як і подібні) не розбиваються на класи так, щоб у кожному класі елементи не розрізнялися, а елементи різних класів свідомо розрізнялися.

Традиційний підхід до вивчення подібності або нерозрізненості полягає в тому, щоб спочатку визначити міру подібності, а потім дослідити взаємне розташування подібних об'єктів. Англійський математик Зиман, вивчаючи моделі зорового апарату, запропонував аксіоматичне визначення схожості. Тим самим властивості подібності стало можливим вивчати незалежно від того, як конкретно вони задані в тій чи іншій ситуації: відстанню між об'єктами, збігом якихось ознак чи суб'єктивною думкою спостерігача.

Так само, як перехід від розпливчастого поняття "однаковість" до точно визначеного типу відношення супроводжувався запровадженням нового терміну "еквівалентність", математичне відношення, відповідне нашому інтуїтивному уявленню про подібність або нерозрізненості, отримало у Зимана назву "толерантність". Інакше кажучи, толерантність є експлікацією поняття подібності або нерозрізненості.