Куб

Куб, натисніть тут для обертання моделі.

Будова куба у стереопроекції.

Розгортка куба

Куб або гексаедр — правильний многогранник, кожна грань якого є квадратом. Окремий випадок паралелепіпеда і призми.

У різних дисциплінах використовуються значення терміну, що мають відношення до тих або інших властивостей геометричного прототипу. Зокрема, в алгебрі кубом числа називають значення цього числа, піднесене до 3-го степеня. В аналітиці (OLAP-аналіз) застосовуються так звані аналітичні багатовимірні куби, що дозволяють в наочному вигляді зіставити дані з різних таблиць.

Декартові координати

Якщо центр куба сумістити з початком координат, а ребра зорієнтувати паралельно осям, тоді вершини куба з ребрами довжини 2 матимуть координати (±1,±1,±1).

Вміст куба буде відповідати умовам на координати (x₀, x₁, x₂) де −1 < x_i < 1.

Формули

Для куба, довжина ребер якого дорівнює $a$:

Площа поверхні	$6a^{2}\,$	Об'єм	$a^{3}\,$
Діагональ грані	${\sqrt {2}}a$	Просторова діагональ	${\textstyle {\sqrt {3}}a}$
Радіус описаної сфери	${\frac {\sqrt {3}}{2}}a$	Радіус сфери, що дотична до ребер	${\frac {a}{\sqrt {2}}}$
радіус вписаної сфери	${\frac {a}{2}}$	кут між гранями (у радіанах)	${\frac {\pi }{2}}$

Куб має найбільший об'єм серед прямокутних паралелепіпедів із такою ж площею поверхні. А також куб, має найбільший об'єм серед прямокутних паралелепіпедів із такими ж загальними лінійними розмірами (довжина+висота+ширина).

Властивості куба

• В куб можна вписати тетраедр двома способами, притому чотири вершини тетраедра будуть суміщено з чотирма вершинами куба. Всі шість ребер тетраедра лежатимуть на всіх шести гранях куба і дорівнюватимуть діагоналі грані-квадрата.
• Чотири перетини куба є правильними шестикутниками — ці перетини проходять через центр куба перпендикулярно чотирьом його діагоналям.
• У куб можна вписати октаедр, притому всі шість вершин октаедра будуть суміщено з центрами шести граней куба.
• Куб можна вписати в октаедр, притому всі вісім вершин куба будуть розташовано в центрах восьми гранях октаедра.
• У куб можна вписати ікосаедр, при цьому, шість взаємно паралельних ребер ікосаедра будуть розташовані відповідно на шести гранях куба, решта 24 ребра всередині куба, всі дванадцять вершин ікосаедра лежатимуть на шести гранях куба.

Ортогональні проекції

Куб має чотири спеціальні ортогональні проекції, із центом, на одній з вершин, ребрі, грані і нормалі відносно її фігури вершин. Перша і друга відповідають A₂ і B₂ площинам Коксетера.

Ортогональні проекції

Із центом в	Грані	Вершині
Площини Коксетера	B2	A2
Проективна симетрія	[4]	[6]
Вигляд під нахилом

Інші геометричні особливості

11 розгорток куба.

Куб має одинадцять різних розгорток: тобто, існує одинадцять способів зробити із куба пласку розгортку розрізаючи його по семи існуючим граням. Для того, щоб зафарбувати куб так, що сусідні грані не матимуть однакового кольору, необхідно принаймні три кольори.

Інші виміри

Аналог куба в чотиривимірному евклідовому просторі має спеціальну назву — тесеракт, або не так визначено — гіперкуб. Аналог куба в n-вимірному евклідовому просторі називається n-вимірним гіперкубом, або просто n-кубом.

В математичній теорії також для повноти розглядають куби менших розмірностей. Так, 0-вимірний куб — це просто точка. 1-вимірний куб — це відрізок. 2-вимірний куб — це квадрат.

Посилання

• The Uniform Polyhedra
• Virtual Reality Polyhedra
• Paper Models of Polyhedra