Прямокутний трикутник: відмінності між версіями
Перейти до навігації
Перейти до пошуку
| [перевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
→Ознаки рівності прямокутних трикутників: уточнення |
там були помилки вреченнях і не дописані деякі теореми Мітки: Замінено Візуальний редактор |
||
| Рядок 1: | Рядок 1: | ||
[[Файл:Rtriangle.svg|thumb]] |
Денгай топ[[Файл:Rtriangle.svg|thumb]] |
||
'''Прямокутний трикутник''' — [[трикутник]], один із кутів якого прямий. Прямокутний трикутник займає особливе місце в планіметрії, оскільки для нього існують прості співвідношення між сторонами і кутами. |
|||
Сторони прямокутного трикутника мають власні назви. Дві сторони, що утворюють прямий кут називаються [[катет]]ами, а третя сторона — [[Гіпотенуза|гіпотенузою]]. Традиційно катети позначаються літерами ''a'' та ''b'', а гіпотенуза — літерою ''c''. |
|||
За [[Теорема Піфагора|теоремою Піфагора]] можна знайти будь-яку сторону прямокутного трикутника, якщо відомі дві інші сторони. За теоремою Піфагора квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. |
|||
: <math> AB^2=AC^2+BC^2 </math> |
|||
Звідси можна знайти інші сторони прямокутного трикутника. |
|||
: <math> AC^2=AB^2-BC^2 </math> |
|||
: <math> BC^2=AB^2-AC^2 </math> |
|||
Катети є водночас висотами прямокутного трикутника. Тому площа прямокутного трикутника дорівнює: |
|||
: <math> S = \frac{1}{2} ab </math>. |
|||
== Властивості прямокутних трикутників == |
|||
# Сума гострих [[кут]]ів прямокутного трикутника дорівнює 90°. |
|||
# Якщо у прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює 30°, то протилежний цьому куту катет буде дорівнювати половині гіпотенузи. |
|||
# Якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут, що лежить проти цього катета, дорівнює 30°. |
|||
# [[Медіана трикутника|Медіана]], проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, ділить його на два рівнобедрених трикутника, оскільки медіана дорівнює половині гіпотенузи. |
|||
# Якщо описати [[коло]] навколо прямокутного трикутника, то гіпотенуза буде діаметром кола. |
|||
== Ознаки рівності прямокутних трикутників == |
|||
У прямокутного трикутника є такі ознаки рівності: |
|||
* '''За двома катетами.''' |
|||
Якщо катети одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катетам другого, то такі трикутники рівні. |
|||
* '''За катетом і прилеглим гострим кутом.''' |
|||
Якщо катет і прилеглий до нього гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катету й прилеглому до нього гострому куту другого, то такі трикутники рівні. |
|||
* '''За катетом і протилежним гострим кутом.''' |
|||
Якщо катет і протилежний йому гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катету й протилежно йому гострому куту другого, то такі трикутники рівні. |
|||
* '''За гіпотенузою і катетом.''' |
|||
Якщо гіпотенуза і катет одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно гіпотенузі й катету другого, то такі трикутники рівні. |
|||
* '''За гіпотенузою і гострим кутом.''' |
|||
Якщо гіпотенуза і гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно гіпотенузі й гострому куту другого, то такі трикутники рівні. |
|||
== Тригонометрія у прямому трикутнику == |
|||
[[Тригонометричні функції]] для гострих кутів можна визначити як відношення сторін прямокутного трикутника. Для будь-якого даного кута можна побудувати прямокутний трикутник, що містить такий кут, і зі сторонами: протилежним катетом, прилеглим катетом і гіпотенузою, пов'язаними з цим кутом певним співвідношенням. Ці відносини сторін не залежать від конкретного обраного прямокутного трикутника, а залежать тільки від заданого кута, так як всі трикутники, побудовані таким чином, є [[Подібність (геометрія)|подібними]]. |
|||
* '''[[Тригонометричні функції|Синусом]] гострого кута''' прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи. |
|||
* '''[[Тригонометричні функції|Косинусом]] гострого кута''' прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи. |
|||
* '''[[Тригонометричні функції|Тангенсом]] гострого кута''' прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого катета. |
|||
* '''[[Тригонометричні функції|Котангенсом]] гострого кута''' прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до протилежного катета. |
|||
Розглянемо у формальних позначених через малюнок вище. |
|||
: <math>\sin A = \frac {a} {c}\,,</math> звідси <math>a = c \sin A,</math> <math>c = \frac {a} {\sin A}\,.</math> |
|||
: <math>\cos A = \frac {b} {c}\,,</math> звідси <math>b = c \cos A,</math> <math>c = \frac {b} {\cos A}\,.</math> |
|||
: <math>\operatorname{tg} A = \frac {a} {b}\,,</math> звідси <math>a = b \operatorname{tg} A,</math> <math>b = \frac {a} {\operatorname{tg} A}\,.</math> |
|||
: <math>\operatorname{ctg} A = \frac {b} {a}\,,</math> звідси <math>b = a \operatorname{ctg} A,</math> <math>a = \frac {b} {\operatorname{ctg} A}\,.</math> |
|||
Звідси можна зробити висновок, що: |
|||
* Щоб знайти катет, протилежний до гострого кута прямокутного трикутника, потрібно гіпотенузу помножити на синус цього кута, або прилеглий катет помножити на тангенс цього кута. |
|||
* Щоб знайти катет, прилеглий до гострого кута прямокутного трикутника, потрібно гіпотенузу помножити на косинус цього кута, або протилежний катет помножити на котангенс цього кута. |
|||
* Щоб знайти гіпотенузу, потрібно катет, прилеглий до гострого кута, поділити на косинус цього кута, або катет, протилежний до гострого кута, поділити на синус цього кута. |
|||
== [[Вписане коло|Вписане]] й [[описане коло]] прямокутного трикутнику == |
|||
[[Файл:Thales' Theorem Simple.svg|міні|праворуч|160px|[[Описане коло]]]] |
|||
=== Описане коло === |
|||
Центром кола, описаного навколо прямокутного трикутника, є середина гіпотенузи. |
|||
Нехай <math>O</math> — центр описаного кола навколо прямокутного {{trianglenotation|ABC}}: |
|||
: <math>AO=OC= \frac {1} {2}AC=R</math> |
|||
=== Вписане коло === |
|||
[[Файл:Vpysanekolo.gif|міні|праворуч|160px|[[Вписане коло]]]] |
|||
У прямокутний трикутник {{trianglenotation|ABC}} з прямим кутом <math>\angle \text{C}</math> вписане коло, яке дотикається до катетів у точках <math>K</math> і <math>N</math>. Відрізки <math>KC</math> і <math>NC</math> дорівнюють радіусу кола. |
|||
Радіус вписаного кола у прямокутний трикутник з катетами <math>a</math> і <math>b</math> і гіпотенузою <math>c</math> знаходиться за формулою: |
|||
: <math>r= \frac {a+b-c} {2}</math> |
|||
== Теорема про висоту прямокутного трикутника == |
|||
[[Файл:Висота в прямокутному трикутнику.png|праворуч|350x350пкс]] |
|||
Нехай <math>h</math> — висота прямокутного трикутника <math>ABC</math>, опущена на гіпотенузу прямого кута, і нехай вона ділить гіпотенузу на відрізки <math>m</math> та <math>n</math>, які є проекціями катетів <math>a</math> та <math>b</math> на гіпотенузу <math>c</math> відповідно. |
|||
Тоді справедливі такі рівності: |
|||
# <math>h ^ 2 = n {\cdot} m</math> |
|||
# <math>a ^ 2 = c {\cdot} m</math> |
|||
# <math>b ^ 2 = c {\cdot} n</math> |
|||
# <math>h {\cdot} c = a {\cdot} b </math> |
|||
'''''Доведення'''''. Трикутники <math>ACH</math>, <math>BCH</math> та <math>ABC</math> подібні між собою (за гострим кутом як прямокутні трикутники). |
|||
З подібності трикутників <math>ACH</math> та <math>ABC</math> маємо, що <math>\frac{h}{a}=\frac{b}{c}=\frac{n}{b}</math>. Звідси випливає, що <math>b ^ 2 = c {\cdot} n</math> та <math>h {\cdot} c = a {\cdot} b </math>. Також звідси випливає рівність <math>h=\frac{a {\cdot} n}{b}</math>. |
|||
З подібності трикутників <math>BCH</math> та <math>ABC</math> маємо, що <math>\frac{h}{b}=\frac{a}{c}=\frac{m}{a}</math>. Звідси випливає, що <math>a ^ 2 = c {\cdot} m</math>. Також звідси випливає рівність <math>h=\frac{b {\cdot} m}{a}</math>. |
|||
Оскільки <math>h=\frac{a {\cdot} n}{b}</math> та <math>h=\frac{b {\cdot} m}{a}</math>, то, перемноживши між собою праві та ліві частини рівностей, одержимо <math>h^2=\frac{a {\cdot} n}{b} {\cdot} \frac{b {\cdot} m}{a}=m{\cdot}n</math>. |
|||
Таким чином доведено всі чотири рівності. |
|||
== Джерела == |
== Джерела == |
||
* Г. П. Бевз. Геометрія трикутника. — Київ: Генеза, 2005, ISBN 966-504-431-1 |
* Г. П. Бевз. Геометрія трикутника. — Київ: Генеза, 2005, ISBN 966-504-431-1 |
||
Версія за 15:41, 12 березня 2018
Денгай топ
Джерела
- Г. П. Бевз. Геометрія трикутника. — Київ: Генеза, 2005, ISBN 966-504-431-1
- О. М. Роганін, О. І. Каплун. Математика. — Харків: Весна, 2009, ISBN 978-966-8896-77-4
- М. І. Бурда, Н. А. Тарасенкова. Геометрія 7 клас. — Україна: Зодіак-ЕКО, 2007, ISBN 978-966-7090-45-6
Див. також
|
Це незавершена стаття з геометрії. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |